Acerca del uso de razonamientos inductivos, generalizaciones,
analogías u otro tipo de razonamiento.
Como sucede
con diversos temas en Enseñanza de las ciencias, para Matemática se piensa,
define y razona, de otra manera.
Éste es el
caso de las analogías, una sola es la respuesta a la búsqueda en la WWW a
“analogías en matemática”, mientras que la búsqueda al concepto “analogía”
arroja 1.700.000 resultados en 0,24 segundos.
El texto
“Esquematismo trascendental kantiano”, producto científico argentino de Enrique
V. García de la UNLa Plata, que se encuentra en http://es.scribd.com/doc/12428850/Enrique-Garcia-Esquematismo-Trascendental-Kantiano revisado por última vez en
05/10/2012, explica aquello que detallo a continuación.
Kant define
diferentes esquemas, uno de ellos es el esquema de la causalidad. El esquema de
la causalidad sería la sucesión de la multiplicidad de un objeto dado, en
cuanto dicha sucesión contiene una regla. Por ejemplo: el hecho A es la causa
del hecho B, sí y sólo sí hemos establecido una regla, extraída de la
experiencia a posteriori, que prescribe que los hechos del tipo A van siempre
seguidos por hechos del tipo B. Pero aunque parece que hay condiciones
sensibles de su aplicación y en las analogías éstas condiciones se trasladan
del análogo base al análogo objetivo, no
es en el esquematismo sino en otros conceptos de Kant en los que vamos a
encontrar sustento teórico al respecto: otros
procedimientos de la imaginación: el
simbolismo, la representación analógica para tramitar la aplicación objetiva de
un concepto puro.
En el
esquematismo el objeto puede exponerse, en el simbolismo no puede ser expuesto
sino observado en sus consecuencias. “El símbolo de una idea, al igual que un concepto
de la razón, es una representación, por analogía, del objeto.” Existe así una
esquematismo real o trascendental y uno por analogía o simbólico.
Enrique V.
García lo llama central, complicado, críptico, oscuro al tema esquematismo
perteneciente a un capítulo de Crítica de la Razón Pura de Kant. El
conocimiento humano, en suma, entonces, para Kant, está compuesto por (a) condiciones
sensibles, y por (b) condiciones intelectuales. El esquematismo de las
categorías enlaza esas dos condiciones.
En éste
texto llama regla expresada o premisa mayor a aquello que nosotros llamamos
análogo base. Llama ítem al que se aplica o conclusión a aquello que nosotros
llamamos análogo objetivo.
Cuando el
autor dice que los esquemas no son sólo imágenes, en el caso de las analogías
podemos pensar en la diversidad de elementos que las definen:
Las
representaciones básicas en el sentido kantiano cuentan con intuiciones puras
que son tan importantes como la doctrina de la síntesis trascendental de la
imaginación. Cuando el matemático construye sus conceptos apela a una intuición
pura determinada. La intuición pura formal producida es sensible de un
concepto, intelectual, particular y
universal. En el caso de la construcción de un concepto geométrico supone
presentar la intuición a priori que le corresponde, una intuición no empírica
que es un objeto singular y a la vez universal.
Kant
menciona un catálogo de los esquemas particulares que están conectados con
diversas categorías, menciona los
juicios de esquema y el autor los recrea. La cuestión, es como en la mayoría de
los temas, que hay consideraciones que no son relevantes ni aplicables en
matemática, por ejemplo, que podemos conocer el estado de una cosa pero no su
existencia. Ni estado ni existencia en el espacio físico real son objeto de
estudio de las matemáticas sino la narración de una axiomática, sobre conjuntos
de entes abstractos y una serie de propiedades que surgen de razonamientos
lógicos sobre la primera.
Al elaborar
el término analogía, se hace en dos sentidos: “(a) analogía es aplicable sólo a
los principios designados con ese nombre. Equivale a los términos matemáticos
razón y proporción. Kant justifica la elección de esta acepción. Afirma: que (a.1), los esquemas implicados en
estos principios corresponden a las categorías
de la relación (cada una de las cuales expresa una relación entre los dos términos);
y que (a.2), la función específica de esos principios consiste en determinar la relación
de los fenómenos entre sí en un solo tiempo. Así pues, la analogía se establece, por una parte, entre los dos
términos de la relación expresada en la categoría y su esquema, y, por otra
parte, entre la supuesta relación de un fenómeno dado y un relacionar no
especificado. Por ejemplo, en el caso de la relación causal, la analogía nos
permite determinar a priori que para todo evento dado «Y», debe haber algún
evento antecedente «x» del cual «Y» se sigue, de acuerdo con una regla. Las analogías
en filosofía difieren de las analogías
en matemática: en filosofía analogía no es una fórmula que expresa la igualdad
de dos relaciones cuantitativas, sino cualitativas.
Aquí me
encontré con un término no- matemático, el de noúmeno, pues en matemática sólo
tenemos símbolos que representan a una idea, y éste concepto es lo más distante
a la representación.
Aún en la
teoría kantiana una analogía se establece entre dos de sus conceptos:
“En la
postura de Kant, es igualmente importante esta tesis: existe una analogía entre
concepto puro y esquema. La tesis que sostiene que existe dicha analogía implica
que los principios contienen un elemento
categorial (debido a los esquemas) que los hace funcionar como reglas universales
y necesarias para la unificación de los fenómenos. En consecuencia, negar esta analogía
equivale a negar la aprioricidad de los principios. Debemos, pues, interpretar estos principios como meras generalizaciones a
partir de la experiencia. Es necesario, sí, negar que se trate de algo más que
de una analogía. Por otra parte, la clave de esta analogía es la analogía fundamental
entre concepto puro y esquema.”
Terminando
acá con las ideas del texto de Esquematismo kantiano.
Analogías
numéricas: es como
una adivinanza numérica.
Algunos
sitios en los cuales encontrar ejemplos revisados en 05/10/2012.
Hay más, son sólo unos ejemplos.
Analogías.
En los textos de matemática se aprecia algo de manera
reiterada: La expresión “análogamente”. En matemática se utilizan sin número de
veces las analogías sin propiedades despreciables, es decir, el
análogo base y el análogo objetivo son perfectamente análogos en todas sus
caracterizaciones, no poseen otras características que se deben obviar pues se
corresponden idénticamente. Ésta analogía tan frecuente en matemática es
Análogo base a posteriori.
Tomando text. del
artículo: “Nuevos roles para propiedades
y relaciones en la estructura de una analogía”: “En las
corrientes que entienden
la analogía
como el establecimiento de correspondencias entre estructuras, se
requiere que las relaciones en uno y otro dominio de la
analogía sean las mismas. Hemos intentado mostrar que este requisito puede no
cumplirse tanto si se interpreta la relación de manera intensional como si
se lo hace de manera extensional, incluyendo el caso en que se consideren los elementos homólogos para la extensionalidad.” Entonces, cuando se usa
la palabra análogamente en matemática, se entiende la existencia de una
analogía como establecimiento de correspondencias entre estructuras.
a) Tome un tema que enseñe de su
disciplina e intente encontrar o desarrollar una analogía que sirva para la
enseñanza de dicho tema. Deje en claro cuáles son los elementos análogos y
cuáles son los límites de la analogía propuesta en la enseñanza del tema en
cuestión. Indique cómo sería el desarrollo de la clase.
Tema: Ecuaciones diferenciales. (Materia de
grado de la Licenciatura en matemática y seminario de posgrado en la Maestría
en enseñanza de las ciencias exactas y naturales.).
En el libro Ecuaciones diferenciales de Zill,
material instruccional en pdf de cabecera en el seminario de la maestría, uno
tiene, como sucede dentro del paréntesis de Gütemberg (en palabras de Alejandro
Piscitelli), un índice, que posteriormente pasaré a detallar. En la aldea
global, es decir, fuera del paréntesis de Gütemberg, hay una videoteca de la
ESPOL, de la Ingeniera Yadira Moreno, en la que, en un entorno virtual, se
permite aprender varios capítulos del libro antes mencionado con versión en
papel. Es una innovación educativa, es creative commons, por lo tanto, no sólo
puedo leerla, oírla y verla sino que además puedo hacer aportes, en la línea
creative commons o con otro copyright. En función de esa producción y de la
lectura de los comentarios de una alumna es que confecciono de manera análoga a
una versión en papel, un índice para dicha videoteca.
Los capítulos perfectamente detallados de un
libro, en la videoteca se pueden corresponder con uno o más videos, por lo que,
a diferencia de los textos en papel en éste índice aparecerá de manera
frecuente la palabra Continuación, porque a veces la edición de un video está
condicionada por limitaciones de cinta o capacidad de memoria a diferencia de
las hojas de papel. Pero la aparición de la palabra Continuación se compensa
con el cuidado de la flora natural y otros aspectos del ecosistema respecto de
la fabricación del papel, que ya es motivo de tantas movilizaciones pacíficas
de ambientalistas.
Las páginas son homólogas a los videos y si se
quiere ser más sutil con los minutos y segundos del fotograma en el que se
comienza a ver dicho contenido, sutileza que no puedo tener por una cuestión de
tiempo y por la duración de los videos creo que con ubicar a la alumna
solicitante del índice y demás ciudadanos de la aldea global en el video que
contiene el tema a aprender sumo un granito de arena.
Los contenidos son homólogos de los contenidos.
Las palabras escritas son homólogas de las
palabras dichas.
Las palabras leídas son homólogas de las
palabras leídas y oídas.
Las negritas son homólogas de los gestos y
tonos en los que Yadira hace énfasis.
Ïndice dentro del paréntesis de Gütemberg de
Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Cuarta
edición. (2005). Nagle, Saff, Snider. Traducción Palma Velazco. Pearson
Educación. México. Bibliografía adicional del seminario de posgrado mencionado.
Capítulo 1. Introducción.
Fundamentos.
Soluciones y problemas con valores iniciales.
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de primer
orden.
Ecuaciones separables.
Ecuaciones lineales.
Ecuaciones exactas.
Factores integrantes especiales.
Capítulo 3. Modelos matemáticos y métodos
numéricos que implican ecuaciones de primer orden.
Calentamiento y enfriamento de edificios.
Mecánica de Newton.
Circuitos eléctricos.
Capítulo 4. Ecuaciones lineales de segundo
orden.
Ecuaciones lineales homogéneas.
Ecuaciones no homogéneas.
Linealización de problemas no lineales.
Ecuaciones no lineales que pueden resolverse mediante
técnicas de primer orden.
Capítulo 6. Teoría de ecuaciones diferenciales
lineales de orden superior.
Teoría básica de las ecuaciones diferenciales
lineales.
Píndice de videoteca de Ingeniera Yadira Moreno
de ESPOL. (Escribo Píndice por los numerosos aportes de Piscitelli a los
numerosos cambios en educación con TIC, desde su trilogía dentro y fuera del
paréntesis de Gütemberg, sus cambios en cátedras completas universitarias y
porque me enorgullece la producción científica Argentina.)
Hay un estante con 4 sesiones con el título
Introducción a las ecuaciones diferenciales.
Sesión 1 de 4.
Ecuaciones
diferenciales.
Clasificación de ecuaciones diferenciales.
Ordinarias. En derivadas parciales.
Orden de una ecuación diferencial.
Variable independiente.
Variable dependiente: una función y sus
derivadas.
Solución de una ecuación diferencial.
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
ordinarias. Lineales. No lineales.
2/4
Continuación. Lineales. No lineales.
Ejemplos de lineales.
¾
Ejemplos de no lineales.
Clasificación de las edo. Homogéneas. No
homogéneas.
4/4
Homogénea. No homogénea. Continuación.
Ejemplos.
Fin de Introducción a las ecuaciones
diferenciales.
Hay otro estante con 27 sesiones (videos) con
el título Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Sesión 1 de 27.
Ecuación diferencial separable.
Ejemplo.
Solución general de una ecuación.
2/27
Otros ejemplos de ecuaciones separables.
3/27
Continuación.
Problemas con condiciones iniciales. Soluciones
particulares.
Factor integrante.
4/27
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de
primer orden con factor integrante. Continuación.
5/27
Método de variación de parámetros.
Ecuación no homogénea. Ecuación homogénea.
Ecuación separable.
6/27
Resolución de un ejemplo por el método de
variación de parámetros.
Ecuación exacta. Definición. Teorema.
7/27
Resolución ejemplo de ecuación diferencial
exacta.
8/27
Ecuación exacta con factor integrante.
Primer caso, el factor integrante depende solo
de x.
Segundo caso, el factor integrante depende solo
de y.
Ejemplo de ecuación exacta a la que le busco
factor integrante.
9/27
Ejemplo de no exacta a la que le busco 1 factor
integrante integrante en x y se torna exacta.
Ejemplo de no exacta a la que le busco 1 factor
integrante en y y se torna exacta.
10/27
Ecuación de Bernoulli, no lineal, se transforma
en lineal.
11/27
Ejemplo. Continuación.
Ecuación diferencial homogénea. Definición.
12/27
Ecuación diferencial homogénea. Ejemplo.
13/27
Despejar dy/dx para saber si es homogénea.
Resolución de un ejercicio por aplicación de
método para ecuaciones diferenciales homogéneas.
Ecuación diferencial con coeficientes lineales.
Caso c1=c2=0.
Caso c1 ó c2 no nulos.
15/27
Ejemplo caso 2.
16/27
Ejemplo caso 2. Continuación.
17/27
Ejemplo caso 2. Continuación. Resolver como
ecuación exacta.
Ecuación diferencial de la forma y’=G(ax+by).
Con sustitución z= ax+by se vuelve separable.
Ejemplo.
18/27
Ejemplo. Continuación.
19/27
Fin de resolución de ecuaciones diferenciales
de primer orden.
20/27
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de
primer orden. Geométricas, físicas, químicas, biológicas.
Curvas ortogonales.
Familia de trayectorias ortogonales. Ejemplo.
21/27
Otro ejemplo.
Aplicación en la física.
22/27
Ley de enfriamiento.
23/27
Segunda Ley de Newton.
24/27
Continuación segunda Ley de Newton.
25/27
Circuitos eléctricos.
Ejemplo circuito R_L.
Ejemplo circuito RC.
26/27
Ley de crecimiento y decrecimiento.
Crecimiento poblacional.
27/27
Crecimiento poblacional. Continuación.
Hay otro estante con 25 sesiones (videos) con
el título Ecuaciones diferenciales de segundo orden.
1/25
Ecuación general y’’=f(x, y, y’).
Primer caso: falta y.
Ejemplo del primer caso. La edo se torna
Bernoulli.
2/25
Ejemplo del primer caso. Continuación
Bernoulli.
3/25
Segundo caso. Falta x. se torna de primer
orden.
Ejemplo de edo que se torna de primer orden
exacta.
4/25
Continuación.
5/25
Ecuación diferencial lineal de segundo orden.
Teorema de supersposición.
Ecuación normalizada.
Conjunto fundamental de soluciones.
6/25
Conjunto fundamental de soluciones. Ejemplos.
Conjunto fundamental de soluciones típico.
C1=c2=1.
Wronskiano.
Funciones linealmente independientes.
7/25
Ejemplo de conjunto fundamental de soluciones
típico.
Teorema de existencia y unicidad de la solución
de una ecuación diferencial de segundo orden. (1)
Puntos de discontinuidad de p, q y g.
intersección de dominios menos puntos de discontinuidades.
8/25
Continuación (1).
Identidad de Abel.
9/25
Continuación.
Wronskiano. Su derivada.
Separable en el wronskiano. Identidad de Abel
para encontrar la segunda solución l.i. de una edo lineal de segundo orden,
conociendo la primera.
Ejemplo.
10/25
Continuación. C.f.s.t. Solución general como
c.l. del C.f.s.t.
Otro ejemplo de aplicación de la identidad de
Abel para encontrar la segunda solución l.i. del C.f.s. de una edo de segundo
orden lineal conociendo la primera solución.
11/25
Ecuación diferencial homogénea de coeficientes
constantes.
Ecuación característica.(3).
1er caso: (3) de discriminante positivo.
2do caso: (3) de discriminante nulo. Aplicando
identidad de Abel
12/25
3er caso: (3) de discriminante negativo.
Teorema.
Ejemplos 1er y 2do casos.
13/25
Ejemplo 3er caso.
Ejemplo con condiciones iniciales.
14/25
Continuación.
El problema no homogéneo.
Solución particular. Solución complementaria.
Método de los coeficientes indeterminados.
Método de variación de parámetros.
15/25
Ejemplo de no homogénea. Solución
complementaria. Solución particular l.li. a yc.
16/25
Continuación.
Otro ejemplo.
17/25
Continuación del otro ejemplo.
18/25
Ecuación diferencial de segundo orden.
Encontrar la solución general.
Ejemplo.
19/25
Continuación ejemplo.
Método de variación de parámetros. Condición 1.
20/25
Continuación. Condición 2. Ecuación de u1 y u2.
Ejemplo.
21/25
Continuación. Ejemplo.
Otro ejemplo.
22/25
Continuación. Ejemplo.
Ecuación de Euler de segundo orden.
23/25
Continuación. Ecuación de Euler de 2do orden.
Se torna edo de coeficientes constantes.
Ejemplo. Ecuación de Euler homogénea.
24/25
Continuación.
Ejemplo. Ecuación de Euler no homogénea con
condiciones iniciales.
25/25
Continuación.
Fin de sesión 3 de 25 videos.
Hay un siguiente cuarto estante con 10 sesiones
(videos) con el título Ecuaciones diferenciales de orden superior.
1/10
Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Definición.
Caso especial.
Ejemplo.
Ecuación diferencial lineal de orden superior.
2/10
Ecuación diferencial lineal de orden superior
homogénea.
Ecuación diferencial homogénea de coeficientes
constantes. Orden superior.
Ecuación característica. Auxiliar.
Primer caso. Raíces reales todas diferentes.
Segundo caso. Raíces reales iguales.
3/10
Tercer caso. Raíces complejas conjugadas
diferentes.
Cuarto caso. Complejos conjugados iguales.
Ejemplo.
4/10
Continuación. Ejemplo. 2 complejos conjugados
iguales. 1 real doble.
Otro ejemplo. Complejos conjugados iguales.
5/10
El problema no homogéneo.
Método de los coeficientes indeterminados.
Coeficientes constantes y g(x) en tabla.
Ejemplo.
6/10
Otro ejemplo.
7/10
Método de variación de parámetros.
8/10
Ejemplo con edo lineales no homogéneas de orden
3.
9/10
Continuación ejemplo.
Ecuación de Euler de tercer orden.
Ejemplo. Yc de edo homogénea.
10/10
Continuación. Solución de la ecuación de Euler.
Estante quinto: ecuaciones diferenciales
lineales en series de potencia.
1/19
Series de potencias. Expresiones de funciones
escritas en series de potencias.
2/19
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
de segundo orden utilizando series de potencias.
Punto ordinario.
Punto singular.
Fórmula de recurrencia.
Constantes libres.
3/19
Ejemplo.
4/19. (15min).
Continuación.
Otro ejemplo.
Resolver la siguiente ecuación diferencial
usando series de potencia alrededor de x= x0, punto ordinario.
10 pasos para resolver éstas ecuaciones
diferenciales.
5/19. (15min 01seg).
Continuación paso 2 a paso 8.
6/19. (13min 42seg).
Continuación paso 9 a paso 10.
7/19. ( 14min 51seg).
Ecuación de Legendre de orden k.
8/19. (14min 58seg).
Ejemplo de ecuación de Legendre. Con solución
y1 serie y y2 polinómica de grado 3.
Otro ejemplo no homogénea.
9/19. (14min 15seg).
Continuación.
10/19. (14min 29seg).
Continuación. Con solución general con 2 series
como soluciones complementarias y 1 serie como solución particular.
Otro ejemplo.
Homogénea.
11/19. (14min 42seg).
Continuación. Ejemplo.
Resolución de edo de segundo orden alrededor de
puntos singulares.
Punto singular regular.
Método de Frobenius.
12/19. (13min 16seg).
Continuación. Método de Frobenius.
Índices de singularidad:r.
Ejemplo.
13/19. (14min 40seg).
Continuación ejemplo.
Fórmula de recurrencia general.
Fórmula de recurrencia particular para cada
índice de singularidad.
14/19. (12min 49seg).
Continuación.
15/19. (14min 25seg).
Índices de singularidad iguales.
Ecuación indicial. Método dde Frobenius.
Ejemplo en 6 pasos. Pasos 1 y 2.
1. Buscar si el punto es singular
regular.
2. Buscar f0 y q0 para ecuación
indicial.
16/19. (14min 33seg).
Continuación ejemplo.
Pasos 3 a 6.
3. Método de frobenius.
4. Fórmula de recurrencia.
5. Y1.
6. Vuelve a la ecuación original
normalizada.
17/19.
(14min 4seg).
Continuación.
Otro
ejemplo.
18/19.
(14min 53seg).
Continuación.
Autocorrección de fórmula indicial.
Fórmula de
recurrencia general.
Fórmula de
recurrencia particular.
Aplica
método de reducción del orden para encontrar la segunda solución.
19/19.
(14min 33seg).
Continuación.
Con y1 y y2 soluciones en series de potencias expresadas por sus primeros
términos.
Estante
sexto: Transformada de Laplace: Transformaciones básicas. Sesión 6.
1/23.
(11min 54seg).
Transformada
de Laplace.
Dos
transformadas.
Propiedad
de linealidad.
2/23.
(13min 02seg).
Dos
transformadas.
Ejemplo.
3/23.
(14min 25seg).
Repaso.
Dos
transformadas.
4/23. (13min
31seg).
Continuación.
Otra
transformada.
Ejemplos.
Transformada
de Laplace inversa.
Ejemplo.
5/23.
(14min 43seg).
Propiedad
de linealidad para la transformada de Laplace inversa.
Ejemplos.
Primer
teorema de traslación.
Fracciones
parciales.
6/23. (14min
05seg).
Continuación.
Fracciones parciales.
Otro
ejemplo.
Teorema de
la transformada de Laplace de la derivada de una función. Probado.
7/23.
(14min 57seg).
Transformada
de Laplace de la segunda derivada de una función.
Transformada
de Laplace de la tercera derivada de una función.
Transformada
de Laplace de la n- ésima derivada de una función.
Ejemplo.
8/23.
(11min 42seg).
Continuación
ejemplo.
Teorema de
la transformada de Laplace de la integral de una función.
Ejemplo.
9/23.
(14min 47seg).
Teorema de
la derivada de la transformación de Laplace.
Ejemplo
resuelto anteriormente con otro método.
Ejemplo.
10/23.
(15min 12seg)
Teorema de
la integral de la transformada de Laplace.
Ejemplos.
11/23.
(14min).
Continuación
de ejemplo.
Método de
transformada de Laplace.
Ejemplos.
12/23.
(13min 51seg).
Ejemplo de
ecuación diferencial de segundo orden no homogénea de coeficientes constantes
por Método de Laplace.
13/23.
(15min 04seg).
Ejemplo de
ecuaciones diferenciales de segundo orden homogénea, no de coeficientes
constantes por Método de Laplace que se torna separable de primer orden. Termina
resolviendo aplicando transformada inversa de Laplace.
Laplace
para función definida por partes. Por intervalos.
Presenta 4
funciones.
1. Función escalón.
14/23.
(12min 59seg).
Transformada
de Laplace de función miu(mu).
Ejemplo.
15/23.
(11min 06seg).
Segundo
teorema de traslación.
16/23.
(13min 45seg.).
Ejemplo del
segundo teorema de traslación.
Otro
ejemplo.
17/23.
(14min 56seg).
Función
periódica.
Transformada
de Laplace de una función periódica.
Ejemplo.
18/23.
(14min 06seg).
Continuación.
Convolución
de funciones.
Teorema.
Ejemplo.
19/23.
(12min 52seg).
Ejemplo.
20/23.
(13min 58seg).
Función
delta de Dirac. Impulso.
Función
rectángulo.
Función
impulso.
21/23
Continuación.
Transformada
de Laplace de la función impulso.
Ejercicios.
22/23.
(12min 35seg).
Continuación.
Ejemplos.
23/23.
(14min 15seg).
Ecuaciones
integrodiferenciales.
Fin estante
sexto.
Sesión 7.
Aplicación de las edo de segundo orden. 2 videos.
1 de 2.
(9min 40seg).
Sistemas
mecánicos. Sistemas masa, resorte, amortiguador. Vibración libre. Vibración
forzada.
Sin
amortiguador.
Circuitos eléctricos.
Constante
de elasticidad del resorte.
Alargamiento
del resorte.
2/2. (31min
49seg).
Ejemplo.
Sesión 8.
Método de los operadores diferenciales. 4 videos.
1 de 4.
(19min 38seg).
Operador
diferencial. D. D^2.
Ejemplo.
2/4. (20min
13seg).
Ejercicio.
3 de 4.
(17min 59seg).
Método de
matrices. Sirve para sistemas de ecuaciones lineales de primer orden homogéneas
y de coeficientes constantes.
Valores
propios.
Vectores
propios.
Solución
general del sistema.
4/4. (27min
42seg).
Ejemplos.
Sesión 9. Series
de Fourier de una función. 2 videos.
1/2 .
(19min 45seg).
Ejemplo.
2/2.
Ejemplo.
Sesión 10.
Series de Fourier- Funciones de período arbitrario. 3 videos.
1 de 3.
(23min 16seg).
Funciones
de período arbitrario.
Definición
de a0, an, bn.
Ejemplo.
2/3. (30min
34seg).
Continuación.
Búsqueda de
a0, a1, a2, a3, …, b1, b2, b3, … para escribir la serie.
3/3. (31min
53seg).
Expresiones
de medio rango.
1. Expansión de medio rango par.
2. Expansión de medio rango impar.
Serie de
Fourier de expansión par de una función.
Ecuación
unidimensional de la onda.
Condiciones
iniciales.
Condiciones
de frontera.
Método de
separación de variables.
Sesión 11.
Método de separación de variables. 1 video.
1/1. (50min
54seg).
Ecuación
unidireccional de la onda.
Método de
separación de variables o de separación.
Caso k=0.
Caso k= p^2.
p>0.
Caso k=
-p^2. P>0.
Uso de razonamientos inductivos, generalizaciones,
analogías u otro tipo de razonamiento.
Tema:
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.
Material de
instrucción:
Razonamientos inductivos: Ejemplo1, otro ejemplo, otro
ejemplo. Se supone que ya pueden hacer la tarea solxs identificando cualquier
ecuación diferencial ordinaria, por lo que paso a otra definición.
Generalizaciones: No está aplicada pero podría regresar a la
definición después de los tres ejemplos, en la definición se generaliza las
propiedades comunes de cada ejemplo en ese concepto.
En particular, una cuestión que generaliza aunque no
explícitamente, es un conocimiento que no siempre se explicita e matemática:
una ecuación lo es en una o varias variables de las que uno debe saber cuál es.
Las ecuaciones lineales las considera en la variable x, las homólogas mejoradas
en y0, y1, y2, …, las ecuaciones diferenciales
en y, y’, y’’,…, con notación de Leibniz (dny/dxn).
Esto es, en que variable es lineal, puede que la misma ecuación sea no lineal
en otro coeficiente que lo pasemos a considerar variable. W2x=0 es
una ecuación lineal en la variable x y es una ecuación no lineal en la variable W. Al no explicitarse
usualmente genera dificultades cuando es considerado por otra profesora como
conocimiento de segundo orden, pues no es aprendido significativamente en el
momento oportuno, entonces no es conocimiento. Entonces “aprendemos ecuaciones
en determinada variable”: Ésta es la generalización.
Entonces, al finalizar de completar el cuadro propuesto en
analogías confeccionado según el formato de estudio de un artículo de la bibliografía
del módulo seis redactaría a modo de generalización: “Una ecuación diferencial
ordinaria es Lineal si lo son todos sus términos respecto de la variable
dependiente y sus derivadas. En caso contrario es No Lineal.”
Analogías:
Una vez que define las ecuaciones diferenciales lineales da
diferentes ejemplos en los que de manera sistemática apela a la analogía con
las ecuaciones que ella llama algebraicas, hasta parecería que corporalmente
querría decir: vamos del análogo base al análogo objetivo, trasladen el
razonamiento en las ecuaciones algebraicas a las ecuaciones diferenciales,
vayan de unas a otras, como si ella
transportase la relación( las propiedades condicionantes) entre las
representaciones de cada par de análogos u homólogos. Acá podríamos decir a
modo de Ana Sfard que, si a la humanidad le ha llevado siglos descubrir las
ecuaciones diferenciales como podemos pensar que los aprendices no tendrán que
razonar y estudiar cierto tiempo para, recorriendo en menos tiempo el mismo
recorrido, aprendan a resolverlas. Ella lo dice en referencia al descubrimiento
y al aprendizaje de los números
complejos, pero esto sucede con todos los conceptos matemáticos.
Ella expone 3 ejemplos. El análogo base: una ecuación lineal
(que será mejorada para que no hayan distractores y no se repitan las
cuestiones que hicieron que por un tiempo se dejen de usar las analogías en la
enseñanza). El análogo objetivo: una ecuación diferencial ordinaria lineal.
Ecuación diferencial.
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Análogo base en video.
|
Análogo base propuesto.
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Y’’’+3y’’-5y’+8xy=2x
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Y3+3y2-5y1+8xy=2x
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Y’’’=0
|
1.y3=0
|
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3y’’=0
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3x+1=2
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3x2=0
|
-5y’=0
|
3x+1=2
|
-5y1=0
|
8xy=0
|
Wx+1=2
|
8xy0=0
|
2x=0
|
Ausencia de y.
|
Ausencia de y y sus derivadas.
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X2y’’+(8/x)y’-y=
 |
X2y2+(8/x)y1-y0=
|
|
X2y’’=0
|
W2x+1=2
|
W2x2=0
|
(8/x)y’=0
|
(8/x)y1=0
|
|
-y=0
|
-y0=0
|
|
Y’’+yy’+
y=0 |
Y2+y0y1+
y0=0 |
|
Representación A.
|
Representación B.
|
Representación C.
|
Una particularidad de las analogías en matemática, y por
tanto en ésta es que hay relaciones de orden superior y relaciones de nivel
inferior, con la particularidad de que éstas siempre son apareables. Esto es
estableciendo analogías entre conceptos matemáticos.
También se hablan las propiedades condicionantes, por
ejemplo, si bien Yadira escribe como análogo base 3x+1=2, se refiere a tres o
bien a x, teniendo como homólogos a tres o bien a y’’, pero la propiedad no
condicionante +1 o bien la otra propiedad no condicionante =2, no las menciona,
su silencio obedece justamente a que no son condicionantes. Éstas omiciones
también tienen una interpretación por parte de lxs aprendices, la dificultad
podría estar en ese significado, adecuado o no, por lo que las analogías en
algún momento pasaron a ser obsoletas. Creo que al omitir las propiedades no
condicionantes en matemática pueden ser las analogías un producto moderno y
mantenerse en el mercado, es decir, ser consumidas por profesorxs al dictar sus
clases.
Propiedades:
Propiedad de análogo objetivo en video.
|
Propiedad de análogo base en video.
|
Propiedad de análogo base propuesta.
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Funciones factores. La derivada es una función y a su vez variable
dependiente.
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3 multiplica a x como 3 multiplica a y’’.
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Función constante 3 factor. Variable y2 factor, por ser
componente de una multiplicación.
|
Coeficiente 3 que no depende de y ni de sus derivadas. Es lineal en y
y sus derivadas.
|
Coeficiente 3 que no depende de sus derivadas.
|
Coeficiente tres que no depende de yn, n=0, 1, 2, 3. Es
lineal en yn.
|
8/x es un factor de un término, a su vez es el coeficiente de y o una
de sus derivadas. No depende de y ni de sus derivadas. Es lineal en y y sus
derivadas.
|
8/x es lineal en yn.
|
Otro tipo de razonamientos:
Al proponer Yadira la definición y luego ejemplos aplica un
razonamiento de tipo deductivo, ya que va de lo general a lo particular de uno
a tres ejemplos.
Como la matemática se define axiomáticamente no está
aplicado el tipo hipotético, del método hipotético deductivo. Cuando en
matemática nos referimos a hipótesis es con otra conceptualización, no hay ni
habrán observaciones ni experiencia.
Monografía con correcciones: El discurso de la Matemática. (Matemática,
diferente hasta para definirla como Ciencia.)
Objetivo: Por años he
estudiado matemática y un objetivo del post es verla a través de los
conceptos epistemológicos, es decir, que la constituye como ciencia, en
particular en el tema Superficies Regulares de Geometría Diferencial de Curvas
y Superficies. Quizás acostumbrada a la matemática, en la que definimos y luego
desarrollamos razonamientos según lo que todos entendemos por determinados
conceptos, en el texto hay pequeños glosarios, previos a párrafos en los que
los términos son utilizados, el objetivo es acordar que entendemos por
determinado concepto.
Otro
objetivo del presente trabajo es tener supervisada por ustedes una tarea
correspondiente a mi plan de tesis en la que investigo los fundamentos
epistemológicos (con ésta expresión me refiero a los conceptos epistemológicos
definidos en el seminario, seguramente habrán análisis más profundos y
cuestiones que no estén tenidas en cuenta.) de una unidad de la materia Geometría de curvas y superficies
como correlativa de Ecuaciones Diferenciales en la Licenciatura en Matemática
en la Universidad Nacional del Comahue.
El trabajo
monográfico tendrá su bibliografía citada al final del mismo como corresponde,
pero la literatura más consultada para su confección ha sido, sin lugar a dudas
“Las desventuras del conocimiento científico. Una introducción a la
epistemología.” De Gregorio Klimovsky.
Introducción.
“¿Cuál es
la pertinencia del método hipotético deductivo en la matemática y, en general,
en las ciencias que, un tanto imprecisamente, se denominan ciencias formales?”
Es un cuestionamiento que se formula Gregorio Klimovsky y para mi fue un tanto
novedoso y desconcertante, pues desde el nivel primario se define la ciencia
desde el método hipotético deductivo, nunca especificando que para la matemática
es diferente, entonces, estaba leyendo algo que por primera vez se oponía a tal
cuestión. Klimovsky detalla muchos conceptos entorno a ciencia, al método
hipotético deductivo, pero observa de tanto en tanto: para matemática habrá
unas páginas exclusivas. No son muchas y para tener un hilo conductor y
comprender si hay cuestiones relacionadas leí todo hasta encontrarlas y
combinando lo previo con lo específico surgió la siguiente recopilación, mucho
textual, a modo de resumen, mucho ensamblado, para armar un rompecabezas que
está incompleto desde mi infancia, y que ni yo sabía que faltaban piezas. Y no
es muy difícil de comprender, los entes, números, son abstractos, no son
observables, no hay experiencia en torno a ellos… pero si hay acuerdos y a partir
de esos acuerdos es que construimos matemática… ciencia…
A modo
de glosario, para aunar criterios; a modo de introducción, para tener un marco
teórico.
No existe
en matemática la menor posibilidad de aplicar el método hipotético- deductivo. La matemática se sirve de otros
instrumentos metodológicos para su desarrollo. Se lo vincula con la tradición
pitagórica, en la que se privilegian nociones tales como las de cálculo y de
operación. Una concepción de lógicos contemporáneos y de los epistemólogos de
las ciencias formales, dicho método está vinculado con la concepción según la
cual el discurso matemático es, en último término, algo similar a un cálculo:
está compuesto por signos para los cuales hay reglas de manipulación y de
construcción de expresiones, pero tanto en los signos como en las expresiones
el componente semántico se halla ausente. Fenómeno sintáctico.
A modo
de glosario. Continuación.
Sintaxis:
para todo aquello que involucre signos y sus combinaciones.
Semántica:
para el caso en que se contemple el significado y la referencia dirigida hacia
entidades externas al lenguaje.
Pragmática:
vinculada al uso de las expresiones.
Cada uno de
estos aspectos del fenómeno lingüístico, la pragmática, la semántica y la sintaxis,
origina problemas muy ligados entre sí, pero constituyen, realmente, ámbitos de
estudio diferentes, aunque en conjunto se las considere formando parte de la
disciplina llamada “semiótica” o “teoría general de los signos”.
Sintaxis
y semántica: los sistemas axiomáticos.
En los dos
párrafos siguientes voy a seguir un tipo de razonamiento inductivo, es decir,
considero un caso o muchos casos y busco generar el interrogante que conduciría
a la necesidad de la definición como generalización, como contenedora de todos
esos elementos con determinadas características.
Un axioma
que puedo mencionar es el Axioma de Arquímedes: Las magnitudes se dice que
guardan una razón entre ellas si, multiplicadas, estas magnitudes pueden
excederse mutuamente. ¿Pero
qué es un axioma?
Los
sistemas axiomáticos a saber son: el sistema de cortaduras o cortes de
Dedekind, de Euclides, de Hilbert, de Peano, de probabilidad, de separación, de
Zermelo- Fraenkel. ¿Pero qué es un sistema axiomático?
Los
axiomas, los sistemas axiomáticos, entre otros conceptos, constituyen el
discurso matemático. El discurso matemático sería un fenómeno exclusivamente
sintáctico, por tanto, la mujer matemática manipula o construye algoritmos,
formas de combinar, remplazar, sustituir y producir expresiones constituidas
por sistemas de signos propuestos para cada capítulo de su disciplina.
Pero una
vez establecidos los acuerdos, es decir, una vez acordado el sistema
axiomático, con la matemática se pueden hacer muchas cosas, por ejemplo
hablemos de la idea de cálculo, muy tradicional en la línea algebrista de la
matemática, en la que el poder de la matemática radica precisamente en que nos
permite aprender a calcular. Una vez que sabemos calcular podemos poner el
conocimiento al servicio de. En la época contemporánea la idea de cálculo debe
ser extendida mucho más allá de la simple aritmética de operaciones tales como
sumar o multiplicar.
Como si
fuese un idioma una puede construir, combinando signos y vocabularios de la
matemática, expresiones que, si bien semejan a las significativas del lenguaje
ordinario, no tienen significación. La significación puede ser añadida
posteriormente. Es entonces el discurso de la matemática un discurso en el cual
la significación está ausente, como a la espera de que alguna conveniente
interpretación le añada el significado faltante. La tarea sintáctica de agrupar
signos debe hacerse con precaución. A los signos sin significación hay que
imponerles ciertas categorías sintácticas para impedir que se los emplee sin
orden ni concierto. Para desarrollar esta suerte de juego sintáctico podríamos
adoptar en principio reglas arbitrarias, genéricamente sistemas sintácticos,
reglas que se correspondan con las leyes de la lógica deductiva formal.
En ésta
disciplina el significado o contenido de las expresiones no se tiene en cuenta
y sólo se atiende a las formas de los razonamientos. Como el orden de los
sujetos y los predicados al formar oraciones, o el uso de los artículos con los
sustantivos, razonamiento internalizado en el caso del español para nosotros.
Categorías,
reglas morfológicas de la lógica y la lingüística, las reglas de transformación
de la matemática de unas expresiones en otras coincidirán entonces con las
leyes formales de la lógica deductiva.
En
matemática, por ejemplo, no existen las falacias, pues directamente
construyendo un contraejemplo se dice que ese razonamiento es falso.
Otro
pequeño glosario.
Razonamiento:
encadenamiento de enunciados, todos los cuales, salvo el último, expresan o
comunican conocimiento en principio ya obtenido o al menos propuesto como
aceptable. Éstos constituyen las premisas del razonamiento mientras que el
último enunciado, obtenido mediante un salto lógico a partir de aquellas, es la
denominada conclusión del razonamiento. Las premisas describen conocimientos ya
existentes o conjeturados, mientras que de la conclusión, generalmente, surge
un conocimiento nuevo. Un razonamiento puede ser correcto o válido, en su
defecto, incorrecto o inválido. No se deben aplicar las palabras: verdadero o
falso, a los razonamientos sino a los enunciados. Salto desde ciertas premisas
a una conclusión.
Forma de un
razonamiento: particular construcción que presenta un razonamiento.
Razonamiento
correcto: en la forma que está construido garantiza la conservación de la
verdad. Lo es cuando la forma de un razonamiento es de tal naturaleza que
garantiza la conservación de la verdad. Es el razonamiento que debe emplear el
científico.
Demostraciones
por el absurdo: a veces se quiere demostrar que un enunciado es verdadero, pero
no hay medio directo de hacerlo y entonces se lo niega y se deducen
consecuencias de su negación. A la hipótesis H se la niega, considerando el
enunciado no H. En otras palabras: Hay un procedimiento de verificación de
hipótesis, el llamado procedimiento indirecto o de demostración por el absurdo,
que permite mostrar la verdad de un enunciado por el recurso a negarlo y
deducir de ésta negación una falsedad. Se trata de un recurso habitual en
matemática.
En cuanto a
establecer una forma única de razonamiento en matemática encontramos en una
vereda a Rudolf Carnap, quién creía realmente en la posibilidad de crear una
fundamentación sólida de la lógica inductiva. En la vereda opuesta se halla
Popper, quien por el contrario cree que la fundamentación del conocimiento debe
recurrir exclusivamente a la vía deductiva a partir de cuerpos de hipótesis o
de teorías conjeturadas. Un argumento que emplea este epistemólogo es el de
todos los problemas no resueltos en probabilidad y estadística. Hoy no
podríamos imaginar las ciencias físicas sin el cálculo infinitesimal de Newton
y Leibniz.
Tal vez los
inductivistas tengan razón cuando afirman que no se puede imaginar una ciencia
sin una lógica inductiva que permita lograr nuevas hipótesis a partir de otras
ya formuladas.
Nuevamente
un pequeño glosario.
Inducción:
el paso de lo particular a lo general.
Indica el proceso intelectivo por el cual un científico, a partir de
datos de la experiencia, accede a teorías que permitan explicarla.
Lógica
inductiva: procedimientos por los cuales podemos sistemáticamente inventar
hipótesis explicativas de datos a partir de ellos.
Inferencia:
cualquier clase de razonamiento, incluso a aquellos que son incorrectos. Hay
inferencias válidas e inválidas.
Inferencias
estadísticas: inferencias de los inductivistas que son deducciones. (Transcribí
este concepto precisamente porque en mis conocimientos previos eran inferencias
estadísticas mis resultados y conclusiones a partir de datos procesados por
determinados métodos estadísticos, pero ésta definición de Klimovsky es
diferente y la acepté como tal.)
La
importancia de los razonamientos en ciencia la advierte cualquier estudiante de
matemática, pues se dispone de enunciados que, al menos, transitoriamente, no
se discuten: como los postulados de la geometría, a partir de los cuales,
considerados como premisas, realizamos razonamientos y obtenemos conclusiones
que proporcionan nuevos conocimientos.
Realizadas
por tanto las convenientes distinciones de categoría y teniendo en cuenta las
reglas morfológicas que nos imponen la lógica y la lingüística, las reglas de
transformación de unas expresiones en otras coincidirán entonces con las leyes
formales de la lógica deductiva. No podemos ignorar que no toda la matemática
se reduce a la lógica pues Gödel enunció y demostró dos teoremas al respecto.
El
lenguaje matemático.
El método
matemático sería solamente una combinación de ardides sintácticos generales que
aprendemos de la lógica, en particular de la teoría de la deducción, y de la
lingüística en general. En cada uno de los sistemas de la matemática así
entendida, llamados sistemas axiomáticos, que permite tomar arbitrariamente, a
modo de juego, algunas de éstas expresiones (o fórmulas), como axiomas. El
término axioma se emplea en homenaje a Aristóteles porque así llamaba él a los
puntos de partida de sus disciplinas. Sin embargo, debemos insistir una vez más
en que aquí axioma es una peculiar combinación de signos sin significado, en
tanto que el filósofo griego destinaba tal denominación, para designar una
verdad fáctica evidente e indiscutible.
Efectivamente,
en este caso, los axiomas son simplemente los puntos de partida de un juego
formal o sintáctico en el que, mediante el empleo de tales axiomas y de reglas
lógicas, serán introducidos los teoremas, término que Aristóteles reservaba
para los enunciados que se deducen de aquellos puntos de partida. Obviamente,
al igual que los axiomas, los teoremas son, para cada sistema axiomático de la
matemática, nada más que un conjunto de fórmulas. Si luego se los utiliza en
alguna aplicación, se los interpretará: en tal caso, los signos adquirirán significado
y, si se logra probar que los axiomas se han transformado en verdades de una
disciplina científica, se admitirá por tanto que los teoremas serán a su vez
también verdades. Se comprende, por tanto, cuáles han de ser las utilidades
potenciales de la matemática, aunque ésta haya sido llamada alguna vez la
“ciencia vacía” (de significados).
La
noción de verdad en matemática.
Dada la
caracterización sintáctica que hemos ofrecido del método axiomático la noción
de verdad en matemática no puede adscribirse al lenguaje ordinario, de plena
capacidad semántica, en la que, en modo aristotélico, indicaría una
correspondencia positiva entre lo que expresa una proposición y el estado de
cosas real al cual ella alude. En un sistema puramente sintáctico el factor semántico
ha desaparecido y concebimos como verdadero a un enunciado cuando ha sido
deducido (“demostrado”) a partir de los axiomas. Sencillamente, verdad
significa deducibilidad.
En cierto
modo, un enunciado matemáticamente verdadero significaría que lo es,
semánticamente, en toda interpretación que haga verdaderos los axiomas. De allí
que la noción sintáctica de la verdad no abandona por completo la tradicional
concepción semántica, de origen aristotélico.
El caso
de la Geometría.
La
Geometría es un ejemplo de sistema axiomático interpretado.
La
Geometría euclidiana sería un discurso en el que habría oculto, un sistema
axiomático, con sus términos primitivos (tales como punto, recta y plano),
enunciados geométricos en orden. Con la axiomática de Dedekind creamos el
discurso de los números reales. Con la
axiomática de Hilbert, la Geometría diferencial sería un discurso en el que
sucedería análogamente lo que sucede en la Geometría euclidiana, pues estamos
considerando el quinto postulado sospechoso. Hay diferentes Geometrías no
euclidianas: la creada por Bolyai- Lobachevsky y la creada por Riemman, en ésta última,
por un punto exterior a una recta puede no pasar paralela alguna.
Hasta
Einstein se creía que la Geometría Euclidiana era la más apropiada para describir
el espacio físico, pero él enunció que sería más apropiado por un sistema
axiomático no euclidiano, concretamente el de Riemman. Así, en un espacio
físico pequeño la Geometría euclidiana describe con gran exactitud. En el
cosmos, la Geometría riemmaniana es la adecuada.
También es
de gran utilidad matemática la Geometría analítica, en la que se hacen
corresponder, la teoría de las ecuaciones del Álgebra de los números reales, lo
cual permite resolver complejos problemas geométricos por el recurso del
Álgebra.
Los
modelos matemáticos.
Si
consultamos un buen libro de Física, podemos transitar por él a lo largo de
páginas enteras sin saber porque lo que se presenta allí es Física y no es
Matemática. La Geometría diferencial es el modelo matemático de una rama de la
Física. Por eso es un sistema axiomático para la Física, de un modo más general
y vago, de matemática para la Física. Así un Físico trabaja con el método
hipotético deductivo y el axiomático, cuando descarta un sistema axiomático no
pierde éste, por ello, validez para la Matemática, disciplina científica
formal.
LAS
AXIOMÁTICAS, A SABER, SON: (expresión idiomática que anuncia una enumeración.)
Acerca
de la sintaxis de Geometría de curvas y superficies. Sistemas de signos para el
capítulo 2 sobre Superficies regulares del autor Manfredo Do Carmo con título
Geometría Diferencial de Curvas y Superficies con tirada en español y en inglés.
“El
conocimiento que el hombre tiene del mundo está mediado por el lenguaje”.
Dilthey.
Se recrean
conceptos previos, de materias correlativas como: las integrales de área y las
curvas en el espacio, sus gráficas como superficies cuádricas o sus trazas, los
planos tangentes a ellas estudiados en Análisis Matemático II o Cálculo III. Se
recrean las notaciones de entorno, conjuntos abiertos de Introducción al
Análisis. El dr. Padra me explicó que la
axiomática que sustenta la Geometría diferencial es la axiomática de Hilbert,
pero constitutiva de ella está la axiomática de Euclides, es así que en un
apartado hablé sólo de Geometría y por la elección del tema puedo hablar tanto
de Geometría como de Geometría diferencial. Cuando uno va a dictar una materia
no lo hace desde los axiomas, entonces hacer análisis a una materia con
correlativas requiere de los fundamentos epistemológicos ya enseñados, algunos
de ellos enumerados en las primeras líneas.
Se
introduce la derivada respecto de un parámetro natural que se nota con el
nombre de la función con un punto sobre la letra si es la primera o 2 puntos
sobre la letra si es la segunda derivada respecto del parámetro natural, entre
muchos otros conceptos. Esto en la materia, no específicamente en el capítulo
2.
Acerca del
sistema axiomático del capítulo 2. Con detalle hasta 2.3 y escueto lo restante
excepto 2.7 en el que aparecen nuevas estructuras de dicho sistema inexistentes
hasta ésta sección.
El capítulo
estudiado constituye un sistema axiomático completo consistente pues todo
enunciado verdadero puede demostrarse a partir de los axiomas. Esto no ocurre
siempre en matemática ya que hay infinidad de problemas abiertos, es decir, que
aún no se han probado con lo que serían enunciados verdaderos o no se les ha
encontrado contraejemplo con lo que serían enunciados falsos. Sólo se sabe de
ellos que para muchos casos se verifican. (Muchos, no todos).
En éste
sistema están ausentes las paradojas y las conjeturas. También las suposiciones
y las corazonadas.
Si bien, no
es posible reducir la matemática a la lógica, éste capítulo sería aceptado en
una escuela logicista, ya que es un sistema de axiomas del que se dedujeron
proposiciones que pueden utilizarse en los razonamientos sucesivos.
Éste
capítulo no es pitagórico, ya que la noción de infinito, de inconmesurabilidad,
no es aceptada por ellos.
De los
conceptos definidos podemos mencionar que son conceptos clasificatorios los de:
superficie regular, punto crítico de un mapeo diferenciable F, superficie
conectada y traza de una superficie. Son conceptos métricos: parametrización o sistema de coordenadas en
un entorno de un punto,
diferenciabilidad en un punto de una función f definida en un conjunto
abierto de una superficie regular.
A lo largo
del texto de Geometría diferencial de curvas y superficies, de Do Carmo se encuentran conceptos de las 3
clases.
Las
definiciones a mencionar serían axiomas, conceptos que acordamos con esas
características, características en función de las que enunciaremos
propiedades, un teorema y sobre las que inferiremos para demostrarlos. Es
decir, estoy mostrando el sistema axiomático de un capítulo de un libro de
matemática.
CAPÍTULO 2:
SUPERFICIES REGULARES.
2.1.
Introducción.
2.2. Superficies regulares. Imagen inversa de
puntos pertenecientes a superficies regulares.
Definición
de superficie regular.
Definición
de parametrización o sistema de coordenadas en un entorno de un punto p.
Ejemplo.
Proposición
acerca de: el gráfico es una superficie regular. Probado.
Definición:
punto crítico de un mapeo diferenciable F.
Proposición
acerca de: imagen inversa de un valor a es una superficie regular. Probado.
Definición
de superficie conectada.
Proposición
acerca de: una función no constantemente nula continua definida en una
superficie conectada S no cambia el signo en S. Probado.
Proposición
acerca de: una superficie regular tiene una de las 3 siguientes formas: z= f(x,
y); y= g(z, x); x= h(y, z). Probado.
Proposición
acerca de: x es un mapeo uno a uno. La imagen inversa del mapeo x es continuo.
Probado.
Ejercicios.
2.3. Cambio de parámetros. Funciones en superficies
diferenciables.
Proposición: cambio de parámetro. Probado.
Definición: diferenciabilidad en un punto de una función f
definida en un conjunto abierto de una superficie regular.
Ejemplo: superficie de revolución, curva generadora
(generatriz), de la superficie, eje de rotación z, paralelos, meridianos.
Definición: Traza de una superficie parametrizable.
Ejemplo: superficie
tangente de curva regular parametrizable.
2.4. El plano tangente; diferencial de un mapeo.
2.5. La primera forma fundamental. Área.
2.6. Orientación de superficies.
2.7. Una
caracterización de superficies compactas orientables.
Propiedad 1. Bolzano- Weistrass. Probada.
Propiedad 2. Heine- Borel. Probada.
Propiedad 3. Lebesgue. Probada.
Teorema. Probado.
2.8. Una definición geométrica de Área.
Las definiciones.
Como suele suceder en matemática, las definiciones son
estipulativas. Ellas constituyen los axiomas, junto con constructos previos,
con quienes se forma el sistema axiomático que se va mencionando como Probado.
Son ellas algunas de las cosas que no dudamos, que damos por ciertas, que
acordamos y constituyen la verdad de proposiciones, propiedades y teorema del
capítulo 2 del texto de Do Carmo.
Analogías.
En éste texto se aprecia algo que puede reiterarse en
diferentes textos de matemática: La expresión “análogamente”. En matemática se
utilizan sin número de veces las analogías sin propiedades despreciables, es
decir, el análogo base y el análogo
objetivo son perfectamente análogos en todas sus caracterizaciones, no poseen
otras características que se deben obviar pues se corresponden idénticamente.
Ésta analogía tan frecuente en matemática es Análogo base a posteriori.
Bibliografía.
He utilizado la bibliografía correspondiente al seminario
FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS DE ENSEÑANZA DE CIENCIAS, correspondiente al
cursado del primer trimestre del 2012 para la maestría en Enseñanza de las
ciencias exactas y naturales de la U N Comahue.
Do Carmo, M. (1976). Geometría diferencial de curvas y
superficies.
Wikipedia.
