EduBitácora Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales.: diciembre 2012

Acerca del uso de razonamientos inductivos, generalizaciones, analogías u otro tipo de razonamiento.

Como sucede con diversos temas en Enseñanza de las ciencias, para Matemática se piensa, define y razona, de otra manera.

Éste es el caso de las analogías, una sola es la respuesta a la búsqueda en la WWW a “analogías en matemática”, mientras que la búsqueda al concepto “analogía” arroja 1.700.000 resultados en 0,24 segundos.

El texto “Esquematismo trascendental kantiano”, producto científico argentino de Enrique V. García de la UNLa Plata, que se encuentra en http://es.scribd.com/doc/12428850/Enrique-Garcia-Esquematismo-Trascendental-Kantiano revisado por última vez en 05/10/2012, explica aquello que detallo a continuación.

Kant define diferentes esquemas, uno de ellos es el esquema de la causalidad. El esquema de la causalidad sería la sucesión de la multiplicidad de un objeto dado, en cuanto dicha sucesión contiene una regla. Por ejemplo: el hecho A es la causa del hecho B, sí y sólo sí hemos establecido una regla, extraída de la experiencia a posteriori, que prescribe que los hechos del tipo A van siempre seguidos por hechos del tipo B. Pero aunque parece que hay condiciones sensibles de su aplicación y en las analogías éstas condiciones se trasladan del análogo base al análogo objetivo, no es en el esquematismo sino en otros conceptos de Kant en los que vamos a encontrar sustento teórico al respecto: otros procedimientos de la imaginación: el simbolismo, la representación analógica para tramitar la aplicación objetiva de un concepto puro.

En el esquematismo el objeto puede exponerse, en el simbolismo no puede ser expuesto sino observado en sus consecuencias. “El símbolo de una idea, al igual que un concepto de la razón, es una representación, por analogía, del objeto.” Existe así una esquematismo real o trascendental y uno por analogía o simbólico.

Enrique V. García lo llama central, complicado, críptico, oscuro al tema esquematismo perteneciente a un capítulo de Crítica de la Razón Pura de Kant. El conocimiento humano, en suma, entonces, para Kant, está compuesto por (a) condiciones sensibles, y por (b) condiciones intelectuales. El esquematismo de las categorías enlaza esas dos condiciones.

En éste texto llama regla expresada o premisa mayor a aquello que nosotros llamamos análogo base. Llama ítem al que se aplica o conclusión a aquello que nosotros llamamos análogo objetivo.

Cuando el autor dice que los esquemas no son sólo imágenes, en el caso de las analogías podemos pensar en la diversidad de elementos que las definen:

Las representaciones básicas en el sentido kantiano cuentan con intuiciones puras que son tan importantes como la doctrina de la síntesis trascendental de la imaginación. Cuando el matemático construye sus conceptos apela a una intuición pura determinada. La intuición pura formal producida es sensible de un concepto, intelectual, particular y universal. En el caso de la construcción de un concepto geométrico supone presentar la intuición a priori que le corresponde, una intuición no empírica que es un objeto singular y a la vez universal.

Kant menciona un catálogo de los esquemas particulares que están conectados con diversas categorías, menciona los juicios de esquema y el autor los recrea. La cuestión, es como en la mayoría de los temas, que hay consideraciones que no son relevantes ni aplicables en matemática, por ejemplo, que podemos conocer el estado de una cosa pero no su existencia. Ni estado ni existencia en el espacio físico real son objeto de estudio de las matemáticas sino la narración de una axiomática, sobre conjuntos de entes abstractos y una serie de propiedades que surgen de razonamientos lógicos sobre la primera.

Al elaborar el término analogía, se hace en dos sentidos: “(a) analogía es aplicable sólo a los principios designados con ese nombre. Equivale a los términos matemáticos razón y proporción. Kant justifica la elección de esta acepción. Afirma: que (a.1), los esquemas implicados en estos principios corresponden a las categorías de la relación (cada una de las cuales expresa una relación entre los dos términos); y que (a.2), la función específica de esos principios consiste en determinar la relación de los fenómenos entre sí en un solo tiempo. Así pues, la analogía se establece, por una parte, entre los dos términos de la relación expresada en la categoría y su esquema, y, por otra parte, entre la supuesta relación de un fenómeno dado y un relacionar no especificado. Por ejemplo, en el caso de la relación causal, la analogía nos permite determinar a priori que para todo evento dado «Y», debe haber algún evento antecedente «x» del cual «Y» se sigue, de acuerdo con una regla. Las analogías en filosofía difieren de las analogías en matemática: en filosofía analogía no es una fórmula que expresa la igualdad de dos relaciones cuantitativas, sino cualitativas.

Aquí me encontré con un término no- matemático, el de noúmeno, pues en matemática sólo tenemos símbolos que representan a una idea, y éste concepto es lo más distante a la representación.

Aún en la teoría kantiana una analogía se establece entre dos de sus conceptos:

“En la postura de Kant, es igualmente importante esta tesis: existe una analogía entre concepto puro y esquema. La tesis que sostiene que existe dicha analogía implica que los principios contienen un elemento categorial (debido a los esquemas) que los hace funcionar como reglas universales y necesarias para la unificación de los fenómenos. En consecuencia, negar esta analogía equivale a negar la aprioricidad de los principios. Debemos, pues, interpretar estos principios como meras generalizaciones a partir de la experiencia. Es necesario, sí, negar que se trate de algo más que de una analogía. Por otra parte, la clave de esta analogía es la analogía fundamental entre concepto puro y esquema.”

Terminando acá con las ideas del texto de Esquematismo kantiano.

Analogías numéricas: es como una adivinanza numérica.

Algunos sitios en los cuales encontrar ejemplos revisados en 05/10/2012.

http://www.youtube.com/watch?v=-AJlA-X6ruQ&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=g32oHTxpR6I&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=A_1EeNfIS3k&feature=channel&list=UL

Hay más, son sólo unos ejemplos.

Clases de analogías.

Analogías en todos los niveles educativos. No deberían ser algo desconocido para lxs aprendices.

Analogías.

En los textos de matemática se aprecia algo de manera reiterada: La expresión “análogamente”. En matemática se utilizan sin número de veces las analogías sin propiedades despreciables, es decir, el análogo base y el análogo objetivo son perfectamente análogos en todas sus caracterizaciones, no poseen otras características que se deben obviar pues se corresponden idénticamente. Ésta analogía tan frecuente en matemática es Análogo base a posteriori.

Tomando text. del artículo: “Nuevos roles para propiedades y relaciones en la estructura de una analogía”: “En las corrientes que entienden la analogía como el establecimiento de correspondencias entre estructuras, se requiere que las relaciones en uno y otro dominio de la analogía sean las mismas. Hemos intentado mostrar que este requisito puede no cumplirse tanto si se interpreta la relación de manera intensional como si se lo hace de manera extensional, incluyendo el caso en que se consideren los elementos homólogos para la extensionalidad.” Entonces, cuando se usa la palabra análogamente en matemática, se entiende la existencia de una analogía como establecimiento de correspondencias entre estructuras.

a) Tome un tema que enseñe de su disciplina e intente encontrar o desarrollar una analogía que sirva para la enseñanza de dicho tema. Deje en claro cuáles son los elementos análogos y cuáles son los límites de la analogía propuesta en la enseñanza del tema en cuestión. Indique cómo sería el desarrollo de la clase.

Tema: Ecuaciones diferenciales. (Materia de grado de la Licenciatura en matemática y seminario de posgrado en la Maestría en enseñanza de las ciencias exactas y naturales.).

En el libro Ecuaciones diferenciales de Zill, material instruccional en pdf de cabecera en el seminario de la maestría, uno tiene, como sucede dentro del paréntesis de Gütemberg (en palabras de Alejandro Piscitelli), un índice, que posteriormente pasaré a detallar. En la aldea global, es decir, fuera del paréntesis de Gütemberg, hay una videoteca de la ESPOL, de la Ingeniera Yadira Moreno, en la que, en un entorno virtual, se permite aprender varios capítulos del libro antes mencionado con versión en papel. Es una innovación educativa, es creative commons, por lo tanto, no sólo puedo leerla, oírla y verla sino que además puedo hacer aportes, en la línea creative commons o con otro copyright. En función de esa producción y de la lectura de los comentarios de una alumna es que confecciono de manera análoga a una versión en papel, un índice para dicha videoteca.

Los capítulos perfectamente detallados de un libro, en la videoteca se pueden corresponder con uno o más videos, por lo que, a diferencia de los textos en papel en éste índice aparecerá de manera frecuente la palabra Continuación, porque a veces la edición de un video está condicionada por limitaciones de cinta o capacidad de memoria a diferencia de las hojas de papel. Pero la aparición de la palabra Continuación se compensa con el cuidado de la flora natural y otros aspectos del ecosistema respecto de la fabricación del papel, que ya es motivo de tantas movilizaciones pacíficas de ambientalistas.

Las páginas son homólogas a los videos y si se quiere ser más sutil con los minutos y segundos del fotograma en el que se comienza a ver dicho contenido, sutileza que no puedo tener por una cuestión de tiempo y por la duración de los videos creo que con ubicar a la alumna solicitante del índice y demás ciudadanos de la aldea global en el video que contiene el tema a aprender sumo un granito de arena.

Los contenidos son homólogos de los contenidos.

Las palabras escritas son homólogas de las palabras dichas.

Las palabras leídas son homólogas de las palabras leídas y oídas.

Las negritas son homólogas de los gestos y tonos en los que Yadira hace énfasis.

Ïndice dentro del paréntesis de Gütemberg de Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Cuarta edición. (2005). Nagle, Saff, Snider. Traducción Palma Velazco. Pearson Educación. México. Bibliografía adicional del seminario de posgrado mencionado.

Capítulo 1. Introducción.

Fundamentos.

Soluciones y problemas con valores iniciales.

Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones separables.

Ecuaciones lineales.

Ecuaciones exactas.

Factores integrantes especiales.

Capítulo 3. Modelos matemáticos y métodos numéricos que implican ecuaciones de primer orden.

Calentamiento y enfriamento de edificios.

Mecánica de Newton.

Circuitos eléctricos.

Capítulo 4. Ecuaciones lineales de segundo orden.

Ecuaciones lineales homogéneas.

Ecuaciones no homogéneas.

Linealización de problemas no lineales.

Ecuaciones no lineales que pueden resolverse mediante técnicas de primer orden.

Capítulo 6. Teoría de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

Teoría básica de las ecuaciones diferenciales lineales.

Píndice de videoteca de Ingeniera Yadira Moreno de ESPOL. (Escribo Píndice por los numerosos aportes de Piscitelli a los numerosos cambios en educación con TIC, desde su trilogía dentro y fuera del paréntesis de Gütemberg, sus cambios en cátedras completas universitarias y porque me enorgullece la producción científica Argentina.)

Hay un estante con 4 sesiones con el título Introducción a las ecuaciones diferenciales.

Sesión 1 de 4.

Ecuaciones diferenciales.

Clasificación de ecuaciones diferenciales. Ordinarias. En derivadas parciales.

Orden de una ecuación diferencial.

Variable independiente.

Variable dependiente: una función y sus derivadas.

Solución de una ecuación diferencial.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Lineales. No lineales.

2/4

Continuación. Lineales. No lineales.

Ejemplos de lineales.

Ejemplos de no lineales.

Clasificación de las edo. Homogéneas. No homogéneas.

4/4

Homogénea. No homogénea. Continuación.

Ejemplos.

Fin de Introducción a las ecuaciones diferenciales.

Hay otro estante con 27 sesiones (videos) con el título Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Sesión 1 de 27.

Ecuación diferencial separable.

Ejemplo.

Solución general de una ecuación.

2/27

Otros ejemplos de ecuaciones separables.

3/27

Continuación.

Problemas con condiciones iniciales. Soluciones particulares.

Factor integrante.

4/27

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con factor integrante. Continuación.

5/27

Método de variación de parámetros.

Ecuación no homogénea. Ecuación homogénea. Ecuación separable.

6/27

Resolución de un ejemplo por el método de variación de parámetros.

Ecuación exacta. Definición. Teorema.

7/27

Resolución ejemplo de ecuación diferencial exacta.

8/27

Ecuación exacta con factor integrante.

Primer caso, el factor integrante depende solo de x.

Segundo caso, el factor integrante depende solo de y.

Ejemplo de ecuación exacta a la que le busco factor integrante.

9/27

Ejemplo de no exacta a la que le busco 1 factor integrante integrante en x y se torna exacta.

Ejemplo de no exacta a la que le busco 1 factor integrante en y y se torna exacta.

10/27

Ecuación de Bernoulli, no lineal, se transforma en lineal.

11/27

Ejemplo. Continuación.

Ecuación diferencial homogénea. Definición.

12/27

Ecuación diferencial homogénea. Ejemplo.

13/27

Despejar dy/dx para saber si es homogénea.

Resolución de un ejercicio por aplicación de método para ecuaciones diferenciales homogéneas.

Ecuación diferencial con coeficientes lineales.

Caso c1=c2=0.

Caso c1 ó c2 no nulos.

15/27

Ejemplo caso 2.

16/27

Ejemplo caso 2. Continuación.

17/27

Ejemplo caso 2. Continuación. Resolver como ecuación exacta.

Ecuación diferencial de la forma y’=G(ax+by). Con sustitución z= ax+by se vuelve separable.

Ejemplo.

18/27

Ejemplo. Continuación.

19/27

Fin de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden.

20/27

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Geométricas, físicas, químicas, biológicas.

Curvas ortogonales.

Familia de trayectorias ortogonales. Ejemplo.

21/27

Otro ejemplo.

Aplicación en la física.

22/27

Ley de enfriamiento.

23/27

Segunda Ley de Newton.

24/27

Continuación segunda Ley de Newton.

25/27

Circuitos eléctricos.

Ejemplo circuito R_L.

Ejemplo circuito RC.

26/27

Ley de crecimiento y decrecimiento.

Crecimiento poblacional.

27/27

Crecimiento poblacional. Continuación.

Hay otro estante con 25 sesiones (videos) con el título Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

1/25

Ecuación general y’’=f(x, y, y’).

Primer caso: falta y.

Ejemplo del primer caso. La edo se torna Bernoulli.

2/25

Ejemplo del primer caso. Continuación Bernoulli.

3/25

Segundo caso. Falta x. se torna de primer orden.

Ejemplo de edo que se torna de primer orden exacta.

4/25

Continuación.

5/25

Ecuación diferencial lineal de segundo orden.

Teorema de supersposición.

Ecuación normalizada.

Conjunto fundamental de soluciones.

6/25

Conjunto fundamental de soluciones. Ejemplos.

Conjunto fundamental de soluciones típico. C1=c2=1.

Wronskiano.

Funciones linealmente independientes.

7/25

Ejemplo de conjunto fundamental de soluciones típico.

Teorema de existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial de segundo orden. (1)

Puntos de discontinuidad de p, q y g. intersección de dominios menos puntos de discontinuidades.

8/25

Continuación (1).

Identidad de Abel.

9/25

Continuación.

Wronskiano. Su derivada.

Separable en el wronskiano. Identidad de Abel para encontrar la segunda solución l.i. de una edo lineal de segundo orden, conociendo la primera.

Ejemplo.

10/25

Continuación. C.f.s.t. Solución general como c.l. del C.f.s.t.

Otro ejemplo de aplicación de la identidad de Abel para encontrar la segunda solución l.i. del C.f.s. de una edo de segundo orden lineal conociendo la primera solución.

11/25

Ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes.

Ecuación característica.(3).

1er caso: (3) de discriminante positivo.

2do caso: (3) de discriminante nulo. Aplicando identidad de Abel

12/25

3er caso: (3) de discriminante negativo.

Teorema.

Ejemplos 1er y 2do casos.

13/25

Ejemplo 3er caso.

Ejemplo con condiciones iniciales.

14/25

Continuación.

El problema no homogéneo.

Solución particular. Solución complementaria.

Método de los coeficientes indeterminados.

Método de variación de parámetros.

15/25

Ejemplo de no homogénea. Solución complementaria. Solución particular l.li. a yc.

16/25

Continuación.

Otro ejemplo.

17/25

Continuación del otro ejemplo.

18/25

Ecuación diferencial de segundo orden. Encontrar la solución general.

Ejemplo.

19/25

Continuación ejemplo.

Método de variación de parámetros. Condición 1.

20/25

Continuación. Condición 2. Ecuación de u1 y u2.

Ejemplo.

21/25

Continuación. Ejemplo.

Otro ejemplo.

22/25

Continuación. Ejemplo.

Ecuación de Euler de segundo orden.

23/25

Continuación. Ecuación de Euler de 2do orden. Se torna edo de coeficientes constantes.

Ejemplo. Ecuación de Euler homogénea.

24/25

Continuación.

Ejemplo. Ecuación de Euler no homogénea con condiciones iniciales.

25/25

Continuación.

Fin de sesión 3 de 25 videos.

Hay un siguiente cuarto estante con 10 sesiones (videos) con el título Ecuaciones diferenciales de orden superior.

1/10

Ecuaciones diferenciales de orden superior.

Definición.

Caso especial.

Ejemplo.

Ecuación diferencial lineal de orden superior.

2/10

Ecuación diferencial lineal de orden superior homogénea.

Ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes. Orden superior.

Ecuación característica. Auxiliar.

Primer caso. Raíces reales todas diferentes.

Segundo caso. Raíces reales iguales.

3/10

Tercer caso. Raíces complejas conjugadas diferentes.

Cuarto caso. Complejos conjugados iguales.

Ejemplo.

4/10

Continuación. Ejemplo. 2 complejos conjugados iguales. 1 real doble.

Otro ejemplo. Complejos conjugados iguales.

5/10

El problema no homogéneo.

Método de los coeficientes indeterminados. Coeficientes constantes y g(x) en tabla.

Ejemplo.

6/10

Otro ejemplo.

7/10

Método de variación de parámetros.

8/10

Ejemplo con edo lineales no homogéneas de orden 3.

9/10

Continuación ejemplo.

Ecuación de Euler de tercer orden.

Ejemplo. Yc de edo homogénea.

10/10

Continuación. Solución de la ecuación de Euler.

Estante quinto: ecuaciones diferenciales lineales en series de potencia.

1/19

Series de potencias. Expresiones de funciones escritas en series de potencias.

2/19

Resolución de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden utilizando series de potencias.

Punto ordinario.

Punto singular.

Fórmula de recurrencia.

Constantes libres.

3/19

Ejemplo.

4/19. (15min).

Continuación.

Otro ejemplo.

Resolver la siguiente ecuación diferencial usando series de potencia alrededor de x= x0, punto ordinario.

10 pasos para resolver éstas ecuaciones diferenciales.

5/19. (15min 01seg).

Continuación paso 2 a paso 8.

6/19. (13min 42seg).

Continuación paso 9 a paso 10.

7/19. ( 14min 51seg).

Ecuación de Legendre de orden k.

8/19. (14min 58seg).

Ejemplo de ecuación de Legendre. Con solución y1 serie y y2 polinómica de grado 3.

Otro ejemplo no homogénea.

9/19. (14min 15seg).

Continuación.

10/19. (14min 29seg).

Continuación. Con solución general con 2 series como soluciones complementarias y 1 serie como solución particular.

Otro ejemplo.

Homogénea.

11/19. (14min 42seg).

Continuación. Ejemplo.

Resolución de edo de segundo orden alrededor de puntos singulares.

Punto singular regular.

Método de Frobenius.

12/19. (13min 16seg).

Continuación. Método de Frobenius.

Índices de singularidad:r.

Ejemplo.

13/19. (14min 40seg).

Continuación ejemplo.

Fórmula de recurrencia general.

Fórmula de recurrencia particular para cada índice de singularidad.

14/19. (12min 49seg).

Continuación.

15/19. (14min 25seg).

Índices de singularidad iguales.

Ecuación indicial. Método dde Frobenius.

Ejemplo en 6 pasos. Pasos 1 y 2.

1. Buscar si el punto es singular regular.

2. Buscar f0 y q0 para ecuación indicial.

16/19. (14min 33seg).

Continuación ejemplo.

Pasos 3 a 6.

3. Método de frobenius.

4. Fórmula de recurrencia.

5. Y1.

6. Vuelve a la ecuación original normalizada.

17/19. (14min 4seg).

Continuación.

Otro ejemplo.

18/19. (14min 53seg).

Continuación. Autocorrección de fórmula indicial.

Fórmula de recurrencia general.

Fórmula de recurrencia particular.

Aplica método de reducción del orden para encontrar la segunda solución.

19/19. (14min 33seg).

Continuación. Con y1 y y2 soluciones en series de potencias expresadas por sus primeros términos.

Estante sexto: Transformada de Laplace: Transformaciones básicas. Sesión 6.

1/23. (11min 54seg).

Transformada de Laplace.

Dos transformadas.

Propiedad de linealidad.

2/23. (13min 02seg).

Dos transformadas.

Ejemplo.

3/23. (14min 25seg).

Repaso.

Dos transformadas.

4/23. (13min 31seg).

Continuación.

Otra transformada.

Ejemplos.

Transformada de Laplace inversa.

Ejemplo.

5/23. (14min 43seg).

Propiedad de linealidad para la transformada de Laplace inversa.

Ejemplos.

Primer teorema de traslación.

Fracciones parciales.

6/23. (14min 05seg).

Continuación. Fracciones parciales.

Otro ejemplo.

Teorema de la transformada de Laplace de la derivada de una función. Probado.

7/23. (14min 57seg).

Transformada de Laplace de la segunda derivada de una función.

Transformada de Laplace de la tercera derivada de una función.

Transformada de Laplace de la n- ésima derivada de una función.

Ejemplo.

8/23. (11min 42seg).

Continuación ejemplo.

Teorema de la transformada de Laplace de la integral de una función.

Ejemplo.

9/23. (14min 47seg).

Teorema de la derivada de la transformación de Laplace.

Ejemplo resuelto anteriormente con otro método.

Ejemplo.

10/23. (15min 12seg)

Teorema de la integral de la transformada de Laplace.

Ejemplos.

11/23. (14min).

Continuación de ejemplo.

Método de transformada de Laplace.

Ejemplos.

12/23. (13min 51seg).

Ejemplo de ecuación diferencial de segundo orden no homogénea de coeficientes constantes por Método de Laplace.

13/23. (15min 04seg).

Ejemplo de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogénea, no de coeficientes constantes por Método de Laplace que se torna separable de primer orden. Termina resolviendo aplicando transformada inversa de Laplace.

Laplace para función definida por partes. Por intervalos.

Presenta 4 funciones.

1. Función escalón.

14/23. (12min 59seg).

Transformada de Laplace de función miu(mu).

Ejemplo.

15/23. (11min 06seg).

Segundo teorema de traslación.

16/23. (13min 45seg.).

Ejemplo del segundo teorema de traslación.

Otro ejemplo.

17/23. (14min 56seg).

Función periódica.

Transformada de Laplace de una función periódica.

Ejemplo.

18/23. (14min 06seg).

Continuación.

Convolución de funciones.

Teorema.

Ejemplo.

19/23. (12min 52seg).

Ejemplo.

20/23. (13min 58seg).

Función delta de Dirac. Impulso.

Función rectángulo.

Función impulso.

21/23

Continuación.

Transformada de Laplace de la función impulso.

Ejercicios.

22/23. (12min 35seg).

Continuación.

Ejemplos.

23/23. (14min 15seg).

Ecuaciones integrodiferenciales.

Fin estante sexto.

Sesión 7. Aplicación de las edo de segundo orden. 2 videos.

1 de 2. (9min 40seg).

Sistemas mecánicos. Sistemas masa, resorte, amortiguador. Vibración libre. Vibración forzada.

Sin amortiguador.

Circuitos eléctricos.

Constante de elasticidad del resorte.

Alargamiento del resorte.

2/2. (31min 49seg).

Ejemplo.

Sesión 8. Método de los operadores diferenciales. 4 videos.

1 de 4. (19min 38seg).

Operador diferencial. D. D^2.

Ejemplo.

2/4. (20min 13seg).

Ejercicio.

3 de 4. (17min 59seg).

Método de matrices. Sirve para sistemas de ecuaciones lineales de primer orden homogéneas y de coeficientes constantes.

Valores propios.

Vectores propios.

Solución general del sistema.

4/4. (27min 42seg).

Ejemplos.

Sesión 9. Series de Fourier de una función. 2 videos.

1/2 . (19min 45seg).

Ejemplo.

2/2.

Ejemplo.

Sesión 10. Series de Fourier- Funciones de período arbitrario. 3 videos.

1 de 3. (23min 16seg).

Funciones de período arbitrario.

Definición de a0, an, bn.

Ejemplo.

2/3. (30min 34seg).

Continuación.

Búsqueda de a0, a1, a2, a3, …, b1, b2, b3, … para escribir la serie.

3/3. (31min 53seg).

Expresiones de medio rango.

1. Expansión de medio rango par.

2. Expansión de medio rango impar.

Serie de Fourier de expansión par de una función.

Ecuación unidimensional de la onda.

Condiciones iniciales.

Condiciones de frontera.

Método de separación de variables.

Sesión 11. Método de separación de variables. 1 video.

1/1. (50min 54seg).

Ecuación unidireccional de la onda.

Método de separación de variables o de separación.

Caso k=0.

Caso k= p^2. p>0.

Caso k= -p^2. P>0.

Uso de razonamientos inductivos, generalizaciones, analogías u otro tipo de razonamiento.

Tema: Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

Material de instrucción:

En éste video la ingeniera Yadira Moreno utiliza una analogía.

Ella está enseñando ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

La analogía la establece con las ecuaciones lineales en la variable x real.

Razonamientos inductivos: Ejemplo1, otro ejemplo, otro ejemplo. Se supone que ya pueden hacer la tarea solxs identificando cualquier ecuación diferencial ordinaria, por lo que paso a otra definición.

Generalizaciones: No está aplicada pero podría regresar a la definición después de los tres ejemplos, en la definición se generaliza las propiedades comunes de cada ejemplo en ese concepto.

En particular, una cuestión que generaliza aunque no explícitamente, es un conocimiento que no siempre se explicita e matemática: una ecuación lo es en una o varias variables de las que uno debe saber cuál es. Las ecuaciones lineales las considera en la variable x, las homólogas mejoradas en y₀, y₁, y₂, …, las ecuaciones diferenciales en y, y^’, y^’’,…, con notación de Leibniz (dⁿy/dxⁿ). Esto es, en que variable es lineal, puede que la misma ecuación sea no lineal en otro coeficiente que lo pasemos a considerar variable. W²x=0 es una ecuación lineal en la variable x y es una ecuación no lineal en la variable W. Al no explicitarse usualmente genera dificultades cuando es considerado por otra profesora como conocimiento de segundo orden, pues no es aprendido significativamente en el momento oportuno, entonces no es conocimiento. Entonces “aprendemos ecuaciones en determinada variable”: Ésta es la generalización.

Entonces, al finalizar de completar el cuadro propuesto en analogías confeccionado según el formato de estudio de un artículo de la bibliografía del módulo seis redactaría a modo de generalización: “Una ecuación diferencial ordinaria es Lineal si lo son todos sus términos respecto de la variable dependiente y sus derivadas. En caso contrario es No Lineal.”

Analogías:

Una vez que define las ecuaciones diferenciales lineales da diferentes ejemplos en los que de manera sistemática apela a la analogía con las ecuaciones que ella llama algebraicas, hasta parecería que corporalmente querría decir: vamos del análogo base al análogo objetivo, trasladen el razonamiento en las ecuaciones algebraicas a las ecuaciones diferenciales, vayan de unas a otras, como si ella transportase la relación( las propiedades condicionantes) entre las representaciones de cada par de análogos u homólogos. Acá podríamos decir a modo de Ana Sfard que, si a la humanidad le ha llevado siglos descubrir las ecuaciones diferenciales como podemos pensar que los aprendices no tendrán que razonar y estudiar cierto tiempo para, recorriendo en menos tiempo el mismo recorrido, aprendan a resolverlas. Ella lo dice en referencia al descubrimiento y al aprendizaje de los números complejos, pero esto sucede con todos los conceptos matemáticos.

Ella expone 3 ejemplos. El análogo base: una ecuación lineal (que será mejorada para que no hayan distractores y no se repitan las cuestiones que hicieron que por un tiempo se dejen de usar las analogías en la enseñanza). El análogo objetivo: una ecuación diferencial ordinaria lineal.

Ecuación diferencial.	Análogo base en video.	Análogo base propuesto.
Y’’’+3y’’-5y’+8xy=2x		Y₃+3y₂-5y₁+8xy=2x
Y’’’=0		1.y₃=0
3y’’=0	3x+1=2	3x₂=0
-5y’=0	3x+1=2	-5y₁=0
8xy=0	Wx+1=2	8xy₀=0
2x=0	Ausencia de y.	Ausencia de y y sus derivadas.
X²y’’+(8/x)y’-y=		X²y₂+(8/x)y₁-y₀=
X²y’’=0	W²x+1=2	W²x₂=0
(8/x)y’=0		(8/x)y₁=0
-y=0		-y₀=0
Y’’+yy’+y=0		Y₂+y₀y₁+y₀=0
Representación A.	Representación B.	Representación C.

Una particularidad de las analogías en matemática, y por tanto en ésta es que hay relaciones de orden superior y relaciones de nivel inferior, con la particularidad de que éstas siempre son apareables. Esto es estableciendo analogías entre conceptos matemáticos.

También se hablan las propiedades condicionantes, por ejemplo, si bien Yadira escribe como análogo base 3x+1=2, se refiere a tres o bien a x, teniendo como homólogos a tres o bien a y’’, pero la propiedad no condicionante +1 o bien la otra propiedad no condicionante =2, no las menciona, su silencio obedece justamente a que no son condicionantes. Éstas omiciones también tienen una interpretación por parte de lxs aprendices, la dificultad podría estar en ese significado, adecuado o no, por lo que las analogías en algún momento pasaron a ser obsoletas. Creo que al omitir las propiedades no condicionantes en matemática pueden ser las analogías un producto moderno y mantenerse en el mercado, es decir, ser consumidas por profesorxs al dictar sus clases.

Propiedades:

Propiedad de análogo objetivo en video.	Propiedad de análogo base en video.	Propiedad de análogo base propuesta.
Funciones factores. La derivada es una función y a su vez variable dependiente.	3 multiplica a x como 3 multiplica a y’’.	Función constante 3 factor. Variable y₂ factor, por ser componente de una multiplicación.
Coeficiente 3 que no depende de y ni de sus derivadas. Es lineal en y y sus derivadas.	Coeficiente 3 que no depende de sus derivadas.	Coeficiente tres que no depende de y_n, n=0, 1, 2, 3. Es lineal en y_n.
8/x es un factor de un término, a su vez es el coeficiente de y o una de sus derivadas. No depende de y ni de sus derivadas. Es lineal en y y sus derivadas.		8/x es lineal en y_n.

Otro tipo de razonamientos:

Al proponer Yadira la definición y luego ejemplos aplica un razonamiento de tipo deductivo, ya que va de lo general a lo particular de uno a tres ejemplos.

Como la matemática se define axiomáticamente no está aplicado el tipo hipotético, del método hipotético deductivo. Cuando en matemática nos referimos a hipótesis es con otra conceptualización, no hay ni habrán observaciones ni experiencia.

Monografía con correcciones: El discurso de la Matemática. (Matemática, diferente hasta para definirla como Ciencia.)

Objetivo: Por años he estudiado matemática y un objetivo del post es verla a través de los conceptos epistemológicos, es decir, que la constituye como ciencia, en particular en el tema Superficies Regulares de Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Quizás acostumbrada a la matemática, en la que definimos y luego desarrollamos razonamientos según lo que todos entendemos por determinados conceptos, en el texto hay pequeños glosarios, previos a párrafos en los que los términos son utilizados, el objetivo es acordar que entendemos por determinado concepto.

Otro objetivo del presente trabajo es tener supervisada por ustedes una tarea correspondiente a mi plan de tesis en la que investigo los fundamentos epistemológicos (con ésta expresión me refiero a los conceptos epistemológicos definidos en el seminario, seguramente habrán análisis más profundos y cuestiones que no estén tenidas en cuenta.) de una unidad de la materia Geometría de curvas y superficies como correlativa de Ecuaciones Diferenciales en la Licenciatura en Matemática en la Universidad Nacional del Comahue.

El trabajo monográfico tendrá su bibliografía citada al final del mismo como corresponde, pero la literatura más consultada para su confección ha sido, sin lugar a dudas “Las desventuras del conocimiento científico. Una introducción a la epistemología.” De Gregorio Klimovsky.

Introducción.

“¿Cuál es la pertinencia del método hipotético deductivo en la matemática y, en general, en las ciencias que, un tanto imprecisamente, se denominan ciencias formales?” Es un cuestionamiento que se formula Gregorio Klimovsky y para mi fue un tanto novedoso y desconcertante, pues desde el nivel primario se define la ciencia desde el método hipotético deductivo, nunca especificando que para la matemática es diferente, entonces, estaba leyendo algo que por primera vez se oponía a tal cuestión. Klimovsky detalla muchos conceptos entorno a ciencia, al método hipotético deductivo, pero observa de tanto en tanto: para matemática habrá unas páginas exclusivas. No son muchas y para tener un hilo conductor y comprender si hay cuestiones relacionadas leí todo hasta encontrarlas y combinando lo previo con lo específico surgió la siguiente recopilación, mucho textual, a modo de resumen, mucho ensamblado, para armar un rompecabezas que está incompleto desde mi infancia, y que ni yo sabía que faltaban piezas. Y no es muy difícil de comprender, los entes, números, son abstractos, no son observables, no hay experiencia en torno a ellos… pero si hay acuerdos y a partir de esos acuerdos es que construimos matemática… ciencia…

A modo de glosario, para aunar criterios; a modo de introducción, para tener un marco teórico.

No existe en matemática la menor posibilidad de aplicar el método hipotético- deductivo. La matemática se sirve de otros instrumentos metodológicos para su desarrollo. Se lo vincula con la tradición pitagórica, en la que se privilegian nociones tales como las de cálculo y de operación. Una concepción de lógicos contemporáneos y de los epistemólogos de las ciencias formales, dicho método está vinculado con la concepción según la cual el discurso matemático es, en último término, algo similar a un cálculo: está compuesto por signos para los cuales hay reglas de manipulación y de construcción de expresiones, pero tanto en los signos como en las expresiones el componente semántico se halla ausente. Fenómeno sintáctico.

A modo de glosario. Continuación.

Sintaxis: para todo aquello que involucre signos y sus combinaciones.

Semántica: para el caso en que se contemple el significado y la referencia dirigida hacia entidades externas al lenguaje.

Pragmática: vinculada al uso de las expresiones.

Cada uno de estos aspectos del fenómeno lingüístico, la pragmática, la semántica y la sintaxis, origina problemas muy ligados entre sí, pero constituyen, realmente, ámbitos de estudio diferentes, aunque en conjunto se las considere formando parte de la disciplina llamada “semiótica” o “teoría general de los signos”.

Sintaxis y semántica: los sistemas axiomáticos.

En los dos párrafos siguientes voy a seguir un tipo de razonamiento inductivo, es decir, considero un caso o muchos casos y busco generar el interrogante que conduciría a la necesidad de la definición como generalización, como contenedora de todos esos elementos con determinadas características.

Un axioma que puedo mencionar es el Axioma de Arquímedes: Las magnitudes se dice que guardan una razón entre ellas si, multiplicadas, estas magnitudes pueden excederse mutuamente. ¿Pero qué es un axioma?

Los sistemas axiomáticos a saber son: el sistema de cortaduras o cortes de Dedekind, de Euclides, de Hilbert, de Peano, de probabilidad, de separación, de Zermelo- Fraenkel. ¿Pero qué es un sistema axiomático?

Los axiomas, los sistemas axiomáticos, entre otros conceptos, constituyen el discurso matemático. El discurso matemático sería un fenómeno exclusivamente sintáctico, por tanto, la mujer matemática manipula o construye algoritmos, formas de combinar, remplazar, sustituir y producir expresiones constituidas por sistemas de signos propuestos para cada capítulo de su disciplina.

Pero una vez establecidos los acuerdos, es decir, una vez acordado el sistema axiomático, con la matemática se pueden hacer muchas cosas, por ejemplo hablemos de la idea de cálculo, muy tradicional en la línea algebrista de la matemática, en la que el poder de la matemática radica precisamente en que nos permite aprender a calcular. Una vez que sabemos calcular podemos poner el conocimiento al servicio de. En la época contemporánea la idea de cálculo debe ser extendida mucho más allá de la simple aritmética de operaciones tales como sumar o multiplicar.

Como si fuese un idioma una puede construir, combinando signos y vocabularios de la matemática, expresiones que, si bien semejan a las significativas del lenguaje ordinario, no tienen significación. La significación puede ser añadida posteriormente. Es entonces el discurso de la matemática un discurso en el cual la significación está ausente, como a la espera de que alguna conveniente interpretación le añada el significado faltante. La tarea sintáctica de agrupar signos debe hacerse con precaución. A los signos sin significación hay que imponerles ciertas categorías sintácticas para impedir que se los emplee sin orden ni concierto. Para desarrollar esta suerte de juego sintáctico podríamos adoptar en principio reglas arbitrarias, genéricamente sistemas sintácticos, reglas que se correspondan con las leyes de la lógica deductiva formal.

En ésta disciplina el significado o contenido de las expresiones no se tiene en cuenta y sólo se atiende a las formas de los razonamientos. Como el orden de los sujetos y los predicados al formar oraciones, o el uso de los artículos con los sustantivos, razonamiento internalizado en el caso del español para nosotros.

Categorías, reglas morfológicas de la lógica y la lingüística, las reglas de transformación de la matemática de unas expresiones en otras coincidirán entonces con las leyes formales de la lógica deductiva.

En matemática, por ejemplo, no existen las falacias, pues directamente construyendo un contraejemplo se dice que ese razonamiento es falso.

Otro pequeño glosario.

Razonamiento: encadenamiento de enunciados, todos los cuales, salvo el último, expresan o comunican conocimiento en principio ya obtenido o al menos propuesto como aceptable. Éstos constituyen las premisas del razonamiento mientras que el último enunciado, obtenido mediante un salto lógico a partir de aquellas, es la denominada conclusión del razonamiento. Las premisas describen conocimientos ya existentes o conjeturados, mientras que de la conclusión, generalmente, surge un conocimiento nuevo. Un razonamiento puede ser correcto o válido, en su defecto, incorrecto o inválido. No se deben aplicar las palabras: verdadero o falso, a los razonamientos sino a los enunciados. Salto desde ciertas premisas a una conclusión.

Forma de un razonamiento: particular construcción que presenta un razonamiento.

Razonamiento correcto: en la forma que está construido garantiza la conservación de la verdad. Lo es cuando la forma de un razonamiento es de tal naturaleza que garantiza la conservación de la verdad. Es el razonamiento que debe emplear el científico.

Demostraciones por el absurdo: a veces se quiere demostrar que un enunciado es verdadero, pero no hay medio directo de hacerlo y entonces se lo niega y se deducen consecuencias de su negación. A la hipótesis H se la niega, considerando el enunciado no H. En otras palabras: Hay un procedimiento de verificación de hipótesis, el llamado procedimiento indirecto o de demostración por el absurdo, que permite mostrar la verdad de un enunciado por el recurso a negarlo y deducir de ésta negación una falsedad. Se trata de un recurso habitual en matemática.

En cuanto a establecer una forma única de razonamiento en matemática encontramos en una vereda a Rudolf Carnap, quién creía realmente en la posibilidad de crear una fundamentación sólida de la lógica inductiva. En la vereda opuesta se halla Popper, quien por el contrario cree que la fundamentación del conocimiento debe recurrir exclusivamente a la vía deductiva a partir de cuerpos de hipótesis o de teorías conjeturadas. Un argumento que emplea este epistemólogo es el de todos los problemas no resueltos en probabilidad y estadística. Hoy no podríamos imaginar las ciencias físicas sin el cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz.

Tal vez los inductivistas tengan razón cuando afirman que no se puede imaginar una ciencia sin una lógica inductiva que permita lograr nuevas hipótesis a partir de otras ya formuladas.

Nuevamente un pequeño glosario.

Inducción: el paso de lo particular a lo general. Indica el proceso intelectivo por el cual un científico, a partir de datos de la experiencia, accede a teorías que permitan explicarla.

Lógica inductiva: procedimientos por los cuales podemos sistemáticamente inventar hipótesis explicativas de datos a partir de ellos.

Inferencia: cualquier clase de razonamiento, incluso a aquellos que son incorrectos. Hay inferencias válidas e inválidas.

Inferencias estadísticas: inferencias de los inductivistas que son deducciones. (Transcribí este concepto precisamente porque en mis conocimientos previos eran inferencias estadísticas mis resultados y conclusiones a partir de datos procesados por determinados métodos estadísticos, pero ésta definición de Klimovsky es diferente y la acepté como tal.)

La importancia de los razonamientos en ciencia la advierte cualquier estudiante de matemática, pues se dispone de enunciados que, al menos, transitoriamente, no se discuten: como los postulados de la geometría, a partir de los cuales, considerados como premisas, realizamos razonamientos y obtenemos conclusiones que proporcionan nuevos conocimientos.

Realizadas por tanto las convenientes distinciones de categoría y teniendo en cuenta las reglas morfológicas que nos imponen la lógica y la lingüística, las reglas de transformación de unas expresiones en otras coincidirán entonces con las leyes formales de la lógica deductiva. No podemos ignorar que no toda la matemática se reduce a la lógica pues Gödel enunció y demostró dos teoremas al respecto.

El lenguaje matemático.

El método matemático sería solamente una combinación de ardides sintácticos generales que aprendemos de la lógica, en particular de la teoría de la deducción, y de la lingüística en general. En cada uno de los sistemas de la matemática así entendida, llamados sistemas axiomáticos, que permite tomar arbitrariamente, a modo de juego, algunas de éstas expresiones (o fórmulas), como axiomas. El término axioma se emplea en homenaje a Aristóteles porque así llamaba él a los puntos de partida de sus disciplinas. Sin embargo, debemos insistir una vez más en que aquí axioma es una peculiar combinación de signos sin significado, en tanto que el filósofo griego destinaba tal denominación, para designar una verdad fáctica evidente e indiscutible.

Efectivamente, en este caso, los axiomas son simplemente los puntos de partida de un juego formal o sintáctico en el que, mediante el empleo de tales axiomas y de reglas lógicas, serán introducidos los teoremas, término que Aristóteles reservaba para los enunciados que se deducen de aquellos puntos de partida. Obviamente, al igual que los axiomas, los teoremas son, para cada sistema axiomático de la matemática, nada más que un conjunto de fórmulas. Si luego se los utiliza en alguna aplicación, se los interpretará: en tal caso, los signos adquirirán significado y, si se logra probar que los axiomas se han transformado en verdades de una disciplina científica, se admitirá por tanto que los teoremas serán a su vez también verdades. Se comprende, por tanto, cuáles han de ser las utilidades potenciales de la matemática, aunque ésta haya sido llamada alguna vez la “ciencia vacía” (de significados).

La noción de verdad en matemática.

Dada la caracterización sintáctica que hemos ofrecido del método axiomático la noción de verdad en matemática no puede adscribirse al lenguaje ordinario, de plena capacidad semántica, en la que, en modo aristotélico, indicaría una correspondencia positiva entre lo que expresa una proposición y el estado de cosas real al cual ella alude. En un sistema puramente sintáctico el factor semántico ha desaparecido y concebimos como verdadero a un enunciado cuando ha sido deducido (“demostrado”) a partir de los axiomas. Sencillamente, verdad significa deducibilidad.

En cierto modo, un enunciado matemáticamente verdadero significaría que lo es, semánticamente, en toda interpretación que haga verdaderos los axiomas. De allí que la noción sintáctica de la verdad no abandona por completo la tradicional concepción semántica, de origen aristotélico.

El caso de la Geometría.

La Geometría es un ejemplo de sistema axiomático interpretado.

La Geometría euclidiana sería un discurso en el que habría oculto, un sistema axiomático, con sus términos primitivos (tales como punto, recta y plano), enunciados geométricos en orden. Con la axiomática de Dedekind creamos el discurso de los números reales. Con la axiomática de Hilbert, la Geometría diferencial sería un discurso en el que sucedería análogamente lo que sucede en la Geometría euclidiana, pues estamos considerando el quinto postulado sospechoso. Hay diferentes Geometrías no euclidianas: la creada por Bolyai- Lobachevsky y la creada por Riemman, en ésta última, por un punto exterior a una recta puede no pasar paralela alguna.

Hasta Einstein se creía que la Geometría Euclidiana era la más apropiada para describir el espacio físico, pero él enunció que sería más apropiado por un sistema axiomático no euclidiano, concretamente el de Riemman. Así, en un espacio físico pequeño la Geometría euclidiana describe con gran exactitud. En el cosmos, la Geometría riemmaniana es la adecuada.

También es de gran utilidad matemática la Geometría analítica, en la que se hacen corresponder, la teoría de las ecuaciones del Álgebra de los números reales, lo cual permite resolver complejos problemas geométricos por el recurso del Álgebra.

Los modelos matemáticos.

Si consultamos un buen libro de Física, podemos transitar por él a lo largo de páginas enteras sin saber porque lo que se presenta allí es Física y no es Matemática. La Geometría diferencial es el modelo matemático de una rama de la Física. Por eso es un sistema axiomático para la Física, de un modo más general y vago, de matemática para la Física. Así un Físico trabaja con el método hipotético deductivo y el axiomático, cuando descarta un sistema axiomático no pierde éste, por ello, validez para la Matemática, disciplina científica formal.

LAS AXIOMÁTICAS, A SABER, SON: (expresión idiomática que anuncia una enumeración.)

Axiomática de Hilbert.

Axiomática de Dedekind.

Axiomática de Peano.

Axiomática de Euclides.

Axiomática de Zermelo.

Axiomática de Kolmogorov.

Acerca de la sintaxis de Geometría de curvas y superficies. Sistemas de signos para el capítulo 2 sobre Superficies regulares del autor Manfredo Do Carmo con título Geometría Diferencial de Curvas y Superficies con tirada en español y en inglés.

“El conocimiento que el hombre tiene del mundo está mediado por el lenguaje”. Dilthey.

Se recrean conceptos previos, de materias correlativas como: las integrales de área y las curvas en el espacio, sus gráficas como superficies cuádricas o sus trazas, los planos tangentes a ellas estudiados en Análisis Matemático II o Cálculo III. Se recrean las notaciones de entorno, conjuntos abiertos de Introducción al Análisis. El dr. Padra me explicó que la axiomática que sustenta la Geometría diferencial es la axiomática de Hilbert, pero constitutiva de ella está la axiomática de Euclides, es así que en un apartado hablé sólo de Geometría y por la elección del tema puedo hablar tanto de Geometría como de Geometría diferencial. Cuando uno va a dictar una materia no lo hace desde los axiomas, entonces hacer análisis a una materia con correlativas requiere de los fundamentos epistemológicos ya enseñados, algunos de ellos enumerados en las primeras líneas.

Se introduce la derivada respecto de un parámetro natural que se nota con el nombre de la función con un punto sobre la letra si es la primera o 2 puntos sobre la letra si es la segunda derivada respecto del parámetro natural, entre muchos otros conceptos. Esto en la materia, no específicamente en el capítulo 2.

Acerca del sistema axiomático del capítulo 2. Con detalle hasta 2.3 y escueto lo restante excepto 2.7 en el que aparecen nuevas estructuras de dicho sistema inexistentes hasta ésta sección.

El capítulo estudiado constituye un sistema axiomático completo consistente pues todo enunciado verdadero puede demostrarse a partir de los axiomas. Esto no ocurre siempre en matemática ya que hay infinidad de problemas abiertos, es decir, que aún no se han probado con lo que serían enunciados verdaderos o no se les ha encontrado contraejemplo con lo que serían enunciados falsos. Sólo se sabe de ellos que para muchos casos se verifican. (Muchos, no todos).

En éste sistema están ausentes las paradojas y las conjeturas. También las suposiciones y las corazonadas.

Si bien, no es posible reducir la matemática a la lógica, éste capítulo sería aceptado en una escuela logicista, ya que es un sistema de axiomas del que se dedujeron proposiciones que pueden utilizarse en los razonamientos sucesivos.

Éste capítulo no es pitagórico, ya que la noción de infinito, de inconmesurabilidad, no es aceptada por ellos.

De los conceptos definidos podemos mencionar que son conceptos clasificatorios los de: superficie regular, punto crítico de un mapeo diferenciable F, superficie conectada y traza de una superficie. Son conceptos métricos: parametrización o sistema de coordenadas en un entorno de un punto, diferenciabilidad en un punto de una función f definida en un conjunto abierto de una superficie regular.

A lo largo del texto de Geometría diferencial de curvas y superficies, de Do Carmo se encuentran conceptos de las 3 clases.

Las definiciones a mencionar serían axiomas, conceptos que acordamos con esas características, características en función de las que enunciaremos propiedades, un teorema y sobre las que inferiremos para demostrarlos. Es decir, estoy mostrando el sistema axiomático de un capítulo de un libro de matemática.

CAPÍTULO 2: SUPERFICIES REGULARES.

2.1. Introducción.

2.2. Superficies regulares. Imagen inversa de puntos pertenecientes a superficies regulares.

Definición de superficie regular.

Definición de parametrización o sistema de coordenadas en un entorno de un punto p.

Ejemplo.

Proposición acerca de: el gráfico es una superficie regular. Probado.

Definición: punto crítico de un mapeo diferenciable F.

Proposición acerca de: imagen inversa de un valor a es una superficie regular. Probado.

Definición de superficie conectada.

Proposición acerca de: una función no constantemente nula continua definida en una superficie conectada S no cambia el signo en S. Probado.

Proposición acerca de: una superficie regular tiene una de las 3 siguientes formas: z= f(x, y); y= g(z, x); x= h(y, z). Probado.

Proposición acerca de: x es un mapeo uno a uno. La imagen inversa del mapeo x es continuo. Probado.

Ejercicios.

2.3. Cambio de parámetros. Funciones en superficies diferenciables.

Proposición: cambio de parámetro. Probado.

Definición: diferenciabilidad en un punto de una función f definida en un conjunto abierto de una superficie regular.

Ejemplo: superficie de revolución, curva generadora (generatriz), de la superficie, eje de rotación z, paralelos, meridianos.

Definición: Traza de una superficie parametrizable.

Ejemplo: superficie tangente de curva regular parametrizable.

2.4. El plano tangente; diferencial de un mapeo.

2.5. La primera forma fundamental. Área.

2.6. Orientación de superficies.

2.7. Una caracterización de superficies compactas orientables.

Propiedad 1. Bolzano- Weistrass. Probada.

Propiedad 2. Heine- Borel. Probada.

Propiedad 3. Lebesgue. Probada.

Teorema. Probado.

2.8. Una definición geométrica de Área.

Las definiciones.

Como suele suceder en matemática, las definiciones son estipulativas. Ellas constituyen los axiomas, junto con constructos previos, con quienes se forma el sistema axiomático que se va mencionando como Probado. Son ellas algunas de las cosas que no dudamos, que damos por ciertas, que acordamos y constituyen la verdad de proposiciones, propiedades y teorema del capítulo 2 del texto de Do Carmo.

Analogías.

En éste texto se aprecia algo que puede reiterarse en diferentes textos de matemática: La expresión “análogamente”. En matemática se utilizan sin número de veces las analogías sin propiedades despreciables, es decir, el análogo base y el análogo objetivo son perfectamente análogos en todas sus caracterizaciones, no poseen otras características que se deben obviar pues se corresponden idénticamente. Ésta analogía tan frecuente en matemática es Análogo base a posteriori.

Bibliografía.

He utilizado la bibliografía correspondiente al seminario FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS DE ENSEÑANZA DE CIENCIAS, correspondiente al cursado del primer trimestre del 2012 para la maestría en Enseñanza de las ciencias exactas y naturales de la U N Comahue.

Do Carmo, M. (1976). Geometría diferencial de curvas y superficies.

Wikipedia.

EduBitácora Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales.

La satisfacción de completar esta etapa.

jueves, 27 de diciembre de 2012

Hiperlectura. Lectura rápida. ¿Polisemias 3.0?.

miércoles, 26 de diciembre de 2012

Hiperlectura 3. Capítulo 1. Bloque 3.

martes, 25 de diciembre de 2012

Lectura 2. Capítulo 1. Bloque 2.

lunes, 24 de diciembre de 2012

Lectura 1. Capítulo 1. Bloque 1.

domingo, 23 de diciembre de 2012

Agradecimientos.

sábado, 22 de diciembre de 2012

Un ejemplo de videoteca... entre otras cosas...